Question

A soma dos 15 primeiros termos de uma progressão aritmética é 405. Sabendo-se que a soma dos seus 25 termos é 2.050, então seu 20º termo é:

Answer 1

vamos usar a formula da soma dos termos geral de P.A......

Sn = ( a1 + an ) * n
.........___________
.....................2

dados :
~~~~~~~
n = 15
Sn = 405

termo geral de P.A :

an = a1 + ( n - 1 ) * r

an = a1 + (15 - 1)* r

an = a1 + 14*r>> vamos substituir na soma dos termos gersl P.A

Sn = ( a1 + an ) * 15
.........___________
.....................2

405 = 15a1 + ( 15a1 + 14*r)*15
............_________________
.................................2

405*2 = 15a1 + 15a1 + 14*r(15)

810 = 30a1 + 210*r ......( 1 )

dados :
~~~~~~~
n = 25
Sn = 2050

termo geral de P.A :
an = a1 + ( n - 1 ) * r

an = a1 + ( 25 - 1 ) * r

an = a1 +24*r>>> vamos substituir na soma dos termos gersl de P.A

Sn = ( an + a1 ) * n
..........__________
......................2

2050 = 25a1 + ( 25a1 + 24*r)*25
..............___________________
.....................................2

2050*2 = 25a1 + 25a1 + 24*r(25)

4100 = 50a1 = 600*r......( 2 )

Fazendo ( 1 ) em ( 2 )

30a1 + 210*r = 810...( - 5 )
50a1 + 600*r = 4100...( 3 )

- 150a1 - 1050*r = - 4050
...150a1 + 1800*r = 12300
:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
00000 + 750*r = 8250

r = 8250 / 750

r = 11


Substituindo em r = 11

810 = 30a1 + 210*r
810 = 30a1 + 210*11
810 = 30a1 + 2310
30a1 + 2310 = 810
30a1 = 810 - 2310
30a1 = - 1500
a1 = - 1500 / 30
a1 = - 50

Substiruindo no 20 termo para encontrar " a1 " com a seguinte formula
a1 = - 50
r = 11
n = 20

a20 = a1 + ( n - 1 ) * r
a20 = - 50 + ( 20 - 1 ) * 11
a20 = - 50 + 19*11
a20 = - 50 + 209
a20 = 159