Question

A soma dos 11 primeiros termos de uma progressão aritmética é 1474. O sexto termo dessa progressão é:
a) 126
b) 130
c) 134
d) 138
e) 142

Answer 1

Existem duas fórmulas para se calcular a soma dos $n$ primeiros termos de uma PA. São elas:

$1- \ S_n=n*a_1+\dfrac{r*n(n-1)}{2}\\ 2- \ S_n=\dfrac{n*(a_1+a_n)}{2}$

Nessa questão usaremos a fórmula 2 :D

i) Nos é dado a soma dos 11 primeiros termos da PA, logo $n=11$, por causa disso temos que "calcular" o $a_{11}$ pra substituir na fórmula:

$a_{11}=a_1+r*(11-1)\\ \boxed{a_{11}=a_1+10r}$

Também vamos "calcular" o $a_6$, que é o que foi pedido na questão:

$a_6=a_1+r*(6-1)\\ \boxed{a_6=a_1+5r}$

ii) Agora podemos substituir $a_{11}$ na fórmula e ver o que aparece:

$S_{11}=\dfrac{11*(a_1+a_{11})}{2}\\ S_{11}=\dfrac{11*(a_1+a_1+10r)}{2}\\ S_{11}=\dfrac{11*(2a_1+10r)}{2}\ \longrightarrow \mathrm{Colocando \ 2 \ em \ evid\^encia}\\ S_{11}=\dfrac{11*2(a_1+5r)}{2} \ \longrightarrow \begin{cases}a_1+5r=a_6\\ S_{11}=1474\end{cases}\\ 1474=11*a_6 \hspace{12pt} \mathrm{(cancelei \ os \ 2)}\\ \\ \boxed{\boxed{a_6=134}}$

R: c) 134