Question

a soma dos 10 primeiros termos de uma progressão aritmética é 185 e a soma dos 12 primeiros é 258, então, o 17° termo e a razão são respectivamente:


por favor a operação da PA

Answer 1

Olá,

Vamos lá, vai ser um cálculo longo.
Sabendo que a fórmula da soma dos termos é: Sn = [(a1+an)/2]n. Temos para a primeira situação:
$185 = (\frac{a_1+a_{10}}{2} )*10\\\\ 2*185 = (a_1+a_{10})10\\ 370 = (a_1+a_{10})10 \\ a_1 + a_{10} = 37$

Segunda situação:
$258 = ( \frac{a_1+a_{12}}{2})*12\\ 2*258 = (a_1+a_{12})12 \\ 516 = (a_1+a_{12})12 \\ a_1 + a_{12} = 43$

Veja que temos um sistema, em que:
a1 + a10 = 37
a1 + a12 = 43
(método da adição, multiplique a primeira por -1)
-a10 + a12 = 6

Sabendo que a10 = a1 + (10-1)*r => a10 = a1 + 9r e a12 = a1 + 11r. Temos, na substituição da equação:
-a10 + a12 = 6
-(a1 + 9r) + a1 + 11r = 6
-a1 - 9r + a1 + 11r = 6
-9r + 11r = 6
2r = 6
r = 3

Sabendo a razão, conseguimos saber a1:
a1 + a10 = 37
a1 + a1 + 9r = 37
2a1 + 9*3 = 37
2a1 = 37 - 27
2a1 = 10
a1 = 5

Agora, vamos descobrir o 17º termo. 
a17 = a1 + (17-1)r
a17 = 5 + 16*3
a17 = 5 + 48
a17 = 53

Portanto, o 17º termo vale 53

Bons estudos ;)