A soma do segundo com o quinto termo de uma PG é 126 e a soma do terceiro termo com o sexto é 252. Assim, determine a razão dessa PG e a soma dos seus quatro primeiros termos.
Soluções para a tarefa
Resposta:
Razão = 2
A1 + A2 + A3 + A4 = 105
Explicação passo-a-passo:
PG é uma sequencia de números. Por exemplo: {1,2,4,8,16,32,64}. Perceba, no caso, que sempre para obter o próximo número, tem que multiplicar por 2. Esse 2 é conhecido como razão.
Para sabermos o valor da razão, basta dividir 2 números consecutivos. 2/1 ou 4/2 ou 8/4 ou 16/8 ou 32/16 ou 64/32 são iguais a 2 (razão).
No exercício proposto, temos:
A2 + A5 = 126 (i)
A3 + A6 = 252 (ii)
Razão(q) = ?
A1 + A2 + A3 + A4 = ?
Posso determinar algumas coisas:
A2 = A1 * q
A3 = A2 * q
A4 = A3 * q
A5 = A4 * q
A6 = A5 * q
No (i) podemos substituir por essas novas equações:
A2 + A5 = 126
A2 + A4 * q = 126
A2 + (A3 * q) * q = 126
A2 + A3*q² = 126
A2 + (A2*q)*q² = 126
A2 + A2q³ = 126
A2 (1 + q³) = 126
A2 = 126 / 1 + q³ (iii)
No (ii) posso substituir por essas novas equações:
A3 + A6 = 252
A3 + A5 * q = 252
A3 + A4*q² = 252
A3 + A3q³ = 252
A3 (1 + q³) = 252
A3 = 252/ 1 + q³ (iv)
Vamos brincar um pouco com (iii) e (iv):
A3 = 2 * A2
Como A3 é o dobro de A2, então 2 é a razão. Agora vamos completar a sequência:
A2 = 126 / 1 + q³ (iii)
A2 = 126 / 1 + 2³
A2 = 126 / 9
A2 = 14.
A3 = 252/ 1 + q³ (iv)
A3 = 252 / 1 + 2³
A3 = 252 / 9
A3 = 28.
//
A1 = 7
A2 = 14
A3 = 28
A4 = 56
A5 = 112
A6 = 224
Respostas:
Razão = 2
A1 + A2 + A3 + A4 = 7 + 14 + 28 + 56 = 105