Question

A soma do número de lados com o número de diagonais de um polígono corresponde ao número total de segmentos ligando dois vértices. Por exemplo, no triângulo existem 3 segmentos ligando dois vértices e no pentágono 10, segmentos. Esse total de segmentos pode ser obtido com a seguinte expressão, em que n é o número de lados do polígono: Quantos lados tem o polígono convexo em que o número total de segmentos ligando dois vértices é 78?A)10B)12C)13D)15E)17

Answer 1

13 lados

A expressão é a seguinte $\dbinom{n}{2}$.

$\dbinom{n}{2}=\dfrac{n!}{(n-2)!\cdot2!}=\dfrac{n(n-1)(n-2)!}{(n-2)!\cdot2}=\dfrac{n(n-1)}{2}$

Temos:

$\dfrac{n(n-1)}{2}=78$

$n(n-1)=156$

$n^2-n-156=0$

$\Delta=(-1)^2-4\cdot1\cdot(-156)=1+624=625$

$n=\dfrac{-(-1)\pm\sqrt{625}}{2\cdot1}=\dfrac{1\pm25}{2}$

$n=\dfrac{1+25}{2}=\dfrac{26}{2}=13$

Alternativa C

Answer 2

Resposta:

n = 13.

Explicação passo-a-passo:

Para calcular o número de lados do polígono, precisamos resolver a seguinte equação:

n +   n ⋅ ( n − 3 ) = 78

        2

Multiplicamos os dois membros da equação por 2 e resolvemos a equação do segundo grau resultante:

2n+n²−3n=156

n²−n−156=0

a=1

b=−1

c = − 156

Δ = b ²− 4 a c

Δ = ( − 1 )²− 4 ⋅ 1⋅ ( − 156 )

Δ = 1 + 624 = 625

n = − b ± √ Δ

       2a

 n = -( − 1 ) ± √ 625

        2. 1

n = 1 ± 25

    2

n=1+25=13 ou  n = 1 − 25 2 = − 12

      2                       2

*Como n é o número de lados do polígono, então n = 13.