Question

a soma do numerador com o denominador de uma fração é igual a 10.Se somarmos 4 unidades ao numerador e subtrairmos 4 unidades do denominador, obteremos o inverso dessa fração. Qual o valor da fração

Answer 1

Vamos chamar o numerador de n e o denominador de d:

A fração é n/d

A soma do numerador e do denominador é igual a 10: 
n + d = 10

Se somarmos 4 unidades ao numerador e subtrairmos 4 unidades do denominador, obteremos o inverso dessa fração:
(n + 4)/(d - 4) = d/n

Vou pegar essa segunda fração e multiplicar em cruz. O numerador da primeira vezes o denominador da segunda e vice versa:

(n + 4).n = (d - 4);d
n.n +4.n = d,d - 4.d
n² + 4n = d² - 4d

Agora vamos isolar uma das letras (pode ser qualquer uma) na primeira equação e substituir na segunda:

n + d = 10
n = 10 - d

Substituindo:

(10 - d)² + 4(10 - d) = d² - 4d
100 - 20d + d² + 40 - 4d = d² - 4d        (Aqui eu usei o produto notável no
                                                              (10 - d)²)

Vou colocar todas as letras no 1º membro e todos os números no segundo:

- 20d + d² - 4d - d² + 4d = - 100 - 40

(d² - d² = 0  ;  -4d + 4d = 0)

-20d = - 140
d = -140/(-20)        (aqui vale a regra de sinais porque é divisão: (-)(-)=(+))
d = 7

OK. Agora vamos substituir isso na primeira equação pra achar o n

n + d = 10
n + 7 = 10
n = 10 - 7
n = 3

Então a fração é:  3/7