Question

a soma do dobro de um numero inteiro com o dobro de seu antecessor com a metade de seu sucessor é maior que 30. qual é o menor número inteiro que satisfaz essa condição.

Answer 1

Olá!

Esse tipo de problema pode ser solucionado com uma inequação.

Colocando o problema em forma de inequação:

Vamos assumir que o menor número que satisfaz essa inequação seja $\color{Red} x$, e que $\color{Red} x \color{Black} \in \mathbb{Z}$ (ou seja, é um inteiro).

→ O dobro do número $\color{Red} x$ é $2 \color{Red} x$

→ O dobro do antecessor de $\color{Red} x$ é $2 ( \color{Red} x \color{Black} - 1 )$

→ A metade do sucessor de $\color{Red} x$ é $\frac{\color{Red} x \color{Black} + 1}{\color{Black} 2}$

→ A soma desses três números é maior que 30.

Podemos expressar isso matematicamente como:

$2 \color{Red} x \color{Black} + 2 ( \color{Red} x \color{Black} - 1 ) + \frac{\color{Red} x \color{Black} + 1}{2} > 30$

Encontrando o intervalo:

Podemos descobrir qual é o menor número que satisfaz a inequação ao resolver para $\color{Red} x$ (i.e isolar a variável):

$2 \color{Red} x \color{Black} + 2 ( \color{Red} x \color{Black} - 1 ) + \frac{\color{Red} x \color{Black} + 1}{2} > 30$

$2 \color{Red} x \color{Black} + 2 \color{Red} x \color{Black} - 2 + \frac{\color{Red} x}{\color{Black} 2} + \frac{1}{2} > 30$

$\frac{9}{2} \color{Red} x \color{Black} - 1,5 > 30$

$\frac{9}{2} \color{Red} x \color{Black} > 30 + 1,5$

$\frac{9}{2} \color{Red} x \color{Black} > 31,5$

$\color{Red} x \color{Black} > 31,5 \times \frac{2}{9}$

$\color{Red} x \color{Black} > \frac{63}{9}$

$\fbox{\fbox{ \color{Red} x \color{Black} > 7 }}$

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Logo, a solução da inequação é:

$\mathrm{S} = \{ x \in \mathbb{Z} \mid x > 7 \}$

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O menor valor que satisfaz a inequação é o menor valor do intervalo $x > 7$.

→ Como sabemos que $\color{Red} x \color{Black} \in \mathbb{Z}$ e $\color{Red} x \color{Black} \neq 7$, podemos afirmar que o menor valor que satisfaz essa inequação é 8, portanto:

$\fbox{\fbox{ \color{Red} x \color{Black} = 8 }}$

Espero ter ajudado.

Abraços e bons estudos ;-)