Question

a soma do 2⁰ e 8⁰ termos de uma PA é -2 e a soma do 5⁰ e 9⁰ termos é -10. Calcule a soma dos 20 primeiros termos dessa progressao ​

Answer 1

O exercício nos dá duas equações com quatro incógnitas:

• $\boxed{\sf a_2~+~a_8~=\,-2}$
• $\boxed{\sf a_5~+~a_9~=\,-10}$

Montando um sistema de equações, portanto, teríamos um sistema possível e indeterminado, isto é, um sistema com infinitas soluções possíveis.

Para que possamos resolve-lo será preciso reduzir o numero de incógnitas a apenas duas, ficando então um sistema de duas equações e duas incógnitas.

Para tanto, utilizaremos o termo geral da PA, que nos possibilitará reescrever os termos a₂, a₈, a₅ e a₉ em função de a₁ e da razão (r) desta PA.

$\sf Termo~Geral~da~PA:~~\boxed{\sf a_n~=~a_1~+~(n-1)\cdot r}~ou~\boxed{\sf a_n~=~a_m~+~(n-m)\cdot r}$

Assim, temos:

$\sf a_2~=~a_1~+~(2-1)\cdot r\\\\\boxed{\sf a_2~=~a_1~+~r}\\\\\\\sf a_8~=~a_1~+~(8-1)\cdot r\\\\\boxed{\sf a_8~=~a_1~+~7r}\\\\\\\sf a_5~=~a_1~+~(5-1)\cdot r\\\\\boxed{\sf a_5~=~a_1~+~4r}\\\\\\\sf a_9~=~a_1~+~(9-1)\cdot r\\\\\boxed{\sf a_9~=~a_1~+~8r}$

Substituindo nas equações:

$\sf (a_1~+~r)~+~(a_1~+~7r)~=\,-2\\\\2a_1~+~8r~=\,-2\\\\\boxed{\sf a_1~+~4r~=\,-1}\\\\\\(a_1~+~4r)~+~(a_1~+~8r)~=\,-10\\\\2a_1~+~12r~=\,-10\\\\\boxed{\sf a_1~+~6r~=\,-5}$

Montando o sistema de equações (abaixo), podemos agora determinar o valor de a₁ e da razão (r):

$\left\{\begin{array}{ccccc}\sf a_1&\sf +&\sf 4r&\sf =&\sf -1\\\sf a_1&\sf +&\sf 6r&\sf =&\sf -5\end{array}\right.$

Utilizando o método da adição, vamos somar a 2ª equação ao negativo da 1ª:

$\sf (a_1~+~6r)~-~(a_1~+~4r)~=~-5~-~(-1)\\\\a_1-a_1~+~6r-4r~=~-5+1\\\\2r~=~-4\\\\r~=~\dfrac{-4}{2}\\\\\boxed{\sf r~=\,-2}$

Tendo o valor de "r", podemos achar agora a₁:

$\sf a_1~+~4r~=\,-1\\\\a_1~+~4\cdot (-2)~=\,-1\\\\a_1~=\,-1~+~8\\\\\boxed{\sf a_1~=~7}$

O enunciado nos solicita a soma dos 20 termos primeiros termos, vamos calcular:

$\sf Soma~de~Termos~da~PA:~~ \boxed{\sf S_n~=~\dfrac{(a_1~+~a_n)\cdot n}{2}}$

$\sf S_{20}~=~\dfrac{(a_1~+~a_{20})\cdot 20}{2}\\\\Utilizando~o~termo~geral~para~reescrever~a_{20}:\\\\S_{20}~=~\dfrac{\Big(a_1~+~(a_1+19r)\Big)\cdot 20}{2}\\\\\\S_{20}~=~\dfrac{\Big(7~+~\big(7+19\cdot (-2)\big)\Big)\cdot 20}{2}\\\\\\S_{20}~=~\Big(7~+~(7-38)\Big)\cdot 10\\\\\\S_{20}~=~(7~-~31)\cdot 10\\\\\\S_{20}~=~(-24)\cdot 10\\\\\\\boxed{\sf S_{20}~=\,-240}$

$\Huge{\begin{array}{c}\Delta \tt{\!\!\!\!\!\!\,\,o}\!\!\!\!\!\!\!\!\:\,\perp\end{array}}Qualquer~d\acute{u}vida,~deixe~ um~coment\acute{a}rio$

Answer 2

Vamos là.

de enunciado vem:

2a1 + 8r = -2

2a1 + 12r = -10

12r - 8r = -10 + 2

4r = -8

r = -2

2a1 - 16 = -2

2a1 = 14

a1 = 7

an = a1 + r*(n - 1)

a20 = 7 - 2*19 = -31

soma

S20 = (a1 + a20)*20/2

S20 = (7 - 31)*10 = -240