Question

A soma de um número real positivo com o dobro da sua raiz quadrada resulta é igual a 15. O quadrado desse número é:

Answer 1

Seja x o número procurado, com x > 0.

De acordo com os dados do problema, devemos ter

$x+2\sqrt{x}=15~~~~~~\mathbf{(i)}\\\\ 2\sqrt{x}=15-x$


Elevando os dois lados ao quadrado,

$\big(2\sqrt{x}\big)^2=(15-x)^2\\\\ 4x=225-30x+x^2\\\\ 0=225-30x+x^2-4x\\\\ x^2-34x+225=0~~~\Rightarrow~~\left\{\!\begin{array}{l}a=1\\b=-34\\c=225 \end{array}\right.\\\\\\ \Delta=b^2-4ac$


$\Delta=(-34)^2-4\cdot 1\cdot 225\\\\ \Delta=1156-900\\\\ \Delta=256\\\\\\ x=\dfrac{-b\pm \sqrt{\Delta}}{2a}\\\\\\ x=\dfrac{-(-34)\pm \sqrt{256}}{2\cdot 1}$

$x=\dfrac{34\pm 16}{2}\\\\\\ \begin{array}{rcl} x=\dfrac{34+16}{2}&~\text{ ou }~&x=\dfrac{34-16}{2}\\\\\\ x=\dfrac{50}{2}&~\text{ ou }~&x=\dfrac{18}{2}\\\\\\ x=25&~\text{ ou }~&x=9 \end{array}$

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ATENÇÃO! Devemos testar os valores de x encontrados para verificar se são de fato soluções da equação (i) dada inicialmente:


• Testando x = 25:

$25+2\sqrt{25}=15\\\\ 25+2\cdot 5=15\\\\ 25+10=15~~~~~\text{(absurdo!)}$


Logo, x = 25 não é solução para a equação dada.



• Testando x = 9:

$9+2\sqrt{9}=15\\\\ 9+2\cdot 3=15\\\\ 9+6=15~~~~~~(\checkmark)$


O número desconhecido é 9. Portanto, o quadrado desse número é 9² = 81.


Bons estudos! :-)