Question

A soma de um número complexo z com o triplo do seu conjugado é igual (-8-6i). Calcule módulo de z.

Answer 1

Z= a+bi
O conjugado inverte o sinal entao Zc= a-bi

O modulo de um nemero complexo é raiz de a^2+ b^2

A+bi + 3.(a-bi)= -8-6i

Fazer a distributiva no conjugado
a+bi+3a-3bi= -8-6i

Organizar o numero complexo
4a-2bi=-8-6i

Igualar parte real com real
4a=-8
A= -2

Igualar parte imag com imag (para essa conta como queremos so o b, não precisa do i)
-2b=-6
B= 3


Desse modo,
Modulo de z= raiz quadrada de (-2)^2+ 3^2
Modulo de z= raiz 4+9
Modulo de z= raiz 13

Answer 2

✅ Depois de terminar a resolução dos cálculos, concluímos que o número complexo procurado é:

               $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf z = -2 + 3i\:\:\:}}\end{gathered} }$

Sabemos que o número complexo pode se escrito genericamente em sua forma algébrica como:

                       $\Large\displaystyle\begin{gathered} z = a + bi\end{gathered}$

Além disso, sabemos que seu conjugado pode ser representado por:

                       $\Large\displaystyle\begin{gathered} \overline{z} = a - bi\end{gathered}$

Interpretando o enunciado temos:

     $\Large \begin{aligned}z + 3\overline{z} & = (-8 - 6i)\\(a + bi) + 3(a - bi) & = -8 - 6i\\a + bi + 3a - 3bi & = -8 - 6\\(1 + 3)a + (b - 3b)i & = -8 - 6\\4a - 2bi & = -8 - 6\end{aligned}$

Chegando neste ponto devemos resolver o seguinte sistema de equações:

     $\Large\begin{cases} 4a = -8\\-2bi = -6i\end{cases}\Longrightarrow \Large\begin{cases} a = -\frac{8}{4} = -2\\b = \frac{-6i}{-2i} = 3\end{cases}$

Portanto:

                        $\Large\begin{cases} a = -2\\b = 3\end{cases}$

✅ Desta forma o número complexo procurado é:

                   $\Large\displaystyle\begin{gathered} z = -2 + 3i\end{gathered}$

$\LARGE\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$

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