Question

A soma de três números que formam uma PG crescente é 19 e, se subtrairmos 1 do primeiro, sem alterar os outros dois, eles passam a constituir uma PA. A diferença entre a soma dos dois primeiros números e o terceiro é:

 

(A) -2
(B) -1
(C) 0
(D) 1
(E) 2

Answer 1

$P.G(a_{1},a_{2},a_{3})$

$r = a_{2} / a_{1}$
$r = a_{3} / a_{2}$
$r=r$
$a_{2} / a_{1} = a_{3} / a_{2}$
$a_{2}*a_{2} = a_{1}*a_{3}$
$(a_{2})^{2} = a_{1}*a_{3}$
_________________________

$P.A([a_{1}-1],a_{2},a_{3})$

$r = a_{2} - (a_{1} - 1)$
$r = a_{3} - a_{2}$
$a_{2} - a_{1} + 1 = a_{3} - a{2}$
$a_{2} + a_{2} = a_{3} + a_{1} - 1$
$2a_{2} = a_{1} + a_{3} - 1$
_________________________

$a_{1} + a_{2} + a_{3} = 19$
$a_{2}=19-a_{1}-a_{3}$
_________________________

Sistema:

$(a_{2})^{2} = a_{1}*a_{3}$
$2a_{2} = a_{1} + a_{3} - 1$
$a_{2}=19-a_{1}-a_{3}$

$2a_{2} = a_{1} + a_{3} - 1$
$2(19-a_{1}-a_{3}) = a_{1} + a_{3} - 1$
$38-2a_{1}-2a_{3} = a_{1} + a_{3} - 1$
$38+1=a_{1}+2a_{1}+a_{3}+2a_{3}$
$39=3a_{1}+3a_{3}$

Dividindo tudo por 3:

$a_{1}+a_{3}=13$
$a_{3}=13-a_{1}$

$a_{1} + a_{2} + a_{3} = 19$
$(a_{1} + a_{3}) + a_{2} = 19$
$13 + a_{2} = 19$
$a_{2} = 6$
_________________________

$(a_{2})^{2} = a_{1}*a_{3}$
$6^{2} = a_{1}(13-a_{1})$
$13a_{1} - (a_{1})^{2} = 36$
$- (a_{1})^{2} + 13a_{1} - 36 = 0$

$S = -b/a = -13/(-1) = 13$
$P = c/a = -36/(-1) = 36$

Raízes: 2 números que quando somados dão 13 e quando multiplicados dão 36

$a_{1}' = 9$ => Não serve, pois a P.G é crescente e a2 = 6
$a_{1}'' = 4$
_________________________

$a_{1}*a_{3}=36$
$4*a_{3}=36$
$a_{3}=9$
_________________________

$R=(a_{1} + a_{2}) - a_{3}$
$R=(4 +6) - 9$
$R=10-9$
$R=1$

Letra D)