A soma de três números em progressão geométrica é 19. Diminuindo 1 (um) ao primeiro
termo, eles passam a forma uma progressão aritmética. Determine os três termos.
Por favor mostre todos os passos
Soluções para a tarefa
Resposta:
4, 6, 9
Explicação passo a passo:
a + b + c = 19 (pois a soma é 19)
b/a = c/b (pois estão em PG)
a - 1, b, c estão em progressão aritmética, então:
b - (a - 1) = c - b
b/a = c/b
a + b + c = 19
b - (a - 1) = c - b
b/a = c/b
Regra de Três Simples:
bb = ac
b² = ac
b = √ac
b - (a - 1) = c - b
- (a - 1) = c - b - b
- (a - 1) = c - 2b
a - 1 = - c + 2b
a = - c + 2b + 1
a = - c + 2b + 1
a = - c + 2√ac + 1
Reescrever a equação com √ac = b:
Reescrever para c:
√ac = b
ac = b²
c = b²/a
a = - (b²/a) + 2b + 1
- (b²/a) + 2b + 1 - a = 0
Para ax² + bx + c = 0:
a = - 1/a b = 2 c = 1 - a
Fórmula de Bhaskara:
x = (-b ± √(b² - 4 • a • c)) / (2 • a)
b = (-2 ± √(2² - 4 • (- 1/a) • (1 - a))) / (2 • (- 1/a))
b = (-2 ± √(2² + 4 • 1/a • (1 - a))) / (2 • (- 1/a))
b = (-2 ± √(2² + 4/a • (1 - a))) / (2 • (- 1/a))
b = (-2 ± √(2² + (4 • (1 - a)) /a ) / (2 • (- 1/a))
b = (-2 ± √((2²a) /a + (4 • (1 - a)) /a ) / (2 • (- 1/a))
b = (-2 ± √((2²a + 4 • (1 - a)) /a )) / (2 • (- 1/a))
b = (-2 ± √((4a + 4 • (1 - a)) /a )) / (2 • (- 1/a))
b = (-2 ± √((4a + 4 - 4a) /a )) / (2 • (- 1/a))
b = (-2 ± √(4/a)) / (2 • (- 1/a))
b = (-2 ± √(4) /√a ) / (2 • (- 1/a))
b = (-2 ± √(2²) /√a ) / (2 • (- 1/a))
b = (-2 ± 2/√a ) / (2 • (- 1/a))
b = (-2 ± 2√a/√a.√a ) / (2 • (- 1/a))
b = (-2 ± (2√a) /a ) / (2 • (- 1/a))
b = (-2 ± (2√a) /a ) / (2 • (- 1/a))
b = (-2 ± (2√a) /a ) / (2 • (- 1/a))
b = -(-2 ± (2√a) /a ) / (2 • 1/a)
b = -((-2a)/a ± (2√a) /a ) / (2 • 1/a)
b = -((-2a ± 2√a) /a ) / (2 • 1/a)
b = -(-2a ± 2√a) / (2 • 1/a).a
b = -(-2a ± 2√a) / (2 • a/a)
b = -(-2a ± 2√a) / (2 • 1)
b = -(-2a ± 2√a) / 2
b = -(-a ± √a)
b = a ± √a
√ac = b
ac = b²
a = b²/c
c = b²/a
c = (a ± √a)²/a
c = (a² ± 2a√a + a) / a
c = a ± 2√a + 1
a + b + c = 19
a + (a ± √a) + (a ± 2√a + 1) = 19
a + (a + √a) + (a + 2√a + 1) = 19
a + a + √a + a + 2√a + 1 = 19
3a + 3√a + 1 = 19
3a + 3√a + 1 - 19 = 0
3a + 3√a - 18 = 0
(3a + 3√a - 18)² = 0
(3a + 3√a - 18).(3a + 3√a - 18) = 0
9a² + 18a√a - 99a - 108√a + 324 = 0
9a² - 117a + 324 = 0
a = (-b ± √(b² - 4 • a • c)) / (2 • a)
a = (-(-117) ± √((-117)² - 4 • 9 • 324)) / (2 • 9)
a = (117 ± √(13689 - 11664)) / 18
a = (117 ± √2025) / 18
a = (117 ± √45²) / 18
a = (117 ± 45) / 18
a = (117 + 45) / 18
a = 162 / 18
a = 9
b = a ± √a
b = 9 - √9
b = 9 - 3
b = 6
c = b²/a
c = 6²/9
c = 36/9
c = 4
------------------------------------
b/a = c/b
6/9 = 4/6
(6/9)/3 = (4/6)/2
2/3 = 2/3
a + b + c = 19
9 + 6 + 4 = 19
15 + 4 = 19
19 = 19
b - (a - 1) = c - b
6 - (9 - 1) = 4 - 6
6 - 8 = - 2
- 2 = - 2