Question

A soma de três números em progressão aritmética positiva e crescente é igual a 30. Se
acrescentarmos cinco ao segundo termo e trinta ao terceiro termo dessa progressão, ela
forma uma progressão geométrica positiva e crescente. Então, o terceiro termo da
progressão geométrica será:

Answer 1

Suponha que os três termos são: $a_1\text{, }a_2\text{ e }a_3$.

Como estão em progressão aritmética:

$a_2 = a_1 + r$

$a_3 = a_1 + 2 \cdot r$

Onde $r>0$ é a razão da progressão aritmética. A soma dos três termos é igual a 30:

$a_1 + a_2 + a_3 = 30$

Escrevendo todos os termos em função de $a_1\text{ e }r$:

$a_1 + (a_1 + r) + (a_1 + 2 \cdot r) = 30$

$3 \cdot a_1 + 3 \cdot r = 30$

$3 \cdot (a_1 + r) = 30$

$a_1 + r = \dfrac{30}{3}$

$a_1 + r = 10$

Só que como $a_2 = a_1 + r$, encontramos que:

$\boxed{a_2 = 10}$

Essa é a primeira informação importante. Agora, se acrescentarmos 5 ao segundo termo e trinta ao terceiro:

$b_2 = a_2 + 5 = a_1 + r + 5 = 15$

$b_3 = a_3 + 30 = a_1 + 2 \cdot r + 30$

$b_3 = (a_1 + r) + r + 30 = 10 + r + 30 = 40 + r$

Ela forma uma progressão geométrica positiva e crescente. Ou seja:

$b_2 = 15 = a_1 \cdot q$

e

$b_3 = a_1 \cdot q^2 = 15 \cdot q$

Onde $q$ é a razão da Progressão Geométrica e $b_2$ e $b_3$ representam os termos dessa progressão.  O primeiro termo, $a_1$ é o mesmo na P.G. e na P.A.

Comparando $b_3$:

$15 \cdot q = 40 + r$

Então:

$q = \dfrac{40+r}{15}$

Substituindo em $b_2$:

$15 = a_1 \cdot q = a_1 \cdot \dfrac{40+r}{15}$

$15 \cdot 15 = a_1 \cdot (40 + r)$

$225 = a_1 \cdot (40 + r)$

Mas $a_1 = 10 - r$ . Ou seja:

$225 = (10 - r) \cdot (40 + r)$

Abrindo a multiplicação:

$-r^2 - 30 \cdot r + 400 - 225 = 0$

Multiplicando por (-1) dos dois lados da equação.

$r^2 + 30 \cdot r - 175 = 0$

Chegamos a uma equação do 2° grau. Podemos resolver a razão da P.A. por Bhaskara:

$r = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a}$

Com a = 1, b = 30 e c = -175:

$r = \dfrac{-30 \pm \sqrt{30^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-175)}}{2 \cdot 1}$

$r = \dfrac{-30 \pm \sqrt{900 +700}}{2}$

$r = \dfrac{-30 \pm \sqrt{1600}}{2}$

$r = \dfrac{-30 \pm 40}{2}$

Só o valor positivo nos interessa:

$r = \dfrac{10}{2}$

$r = 5$

Assim, descobrimos que a P.A. era: 5,10 e 15.

E os da P.G.: 5, 15, 45, sendo q = 3, a razão da P.G.

A resposta:

$\boxed{b_3 = 45}$