Question

A soma de três números em PG é 65 e produto, (-8000). Determine esses números.

Answer 1

os três números em PG = x/q, x, xq
soma: x/q + x + xq = 65
x + xq + xq² = 65 q ⇒⇒⇒⇒⇒⇒ 1ª equação
produto: x/q.x.xq = - 8000 ⇒⇒ 2ª equação
x³q/q = - 8000
x³ = - 8 000 ∴ x = ∛- 8000 ∴ x = - 20 ⇒ resultado da 2ª equação
substituindo o resultado (x) da 2ª equação na 1ª equação: 
-20 -20q -20q² = 65 q
-20 - 20q - 20q² - 65q = 0
-20 - 85q -20q² = 0 (-1)
20q² + 85q + 20 = 0 (:5)
4q² + 17q + 4 = 0
Δ = (-17)² - 4. 4.4
Δ = 289 - 64
Δ = 225
q' = - 17 + √225 ∴ q' = -17 + 15 ∴ q' = - 2 ∴ q' = - 1
             2.4                        8                  8             4
q'' = - 17 - 15  ∴ q'' = - 32 ∴ q'' = - 4
             8                      8

substituindo os valores de x (-20) e de q'(-1/4) e q'' (-4) na sequência x/q, x, xq:

para q = -1/4
PG(80, -20, 5)  ⇒  temos uma PG decrescente

para q = -4
PG(5, -20, 80) ⇒ temos uma PG crescente

Answer 2

Vamos lá.

Veja, Diogo, que a resolução é simples.
Tem-se que a soma de três números em PG é igual a "65" e que o produto desses mesmos três números é igual a "-8.000".

i) Agora veja: se esses três números estão em PG, então poderemos chamá-los assim:

1º termo: x
2º termo: xq
3º termo: xq²

Assim, como a sua soma é igual a 65, então teremos:

x+xq+xq² = 65     . (I)

ii) Como o produto desses mesmos três números é igual a "-8.000", então teremos que:

x*xq*xq² = - 8.000 ------ efetuando o produto indicado, ficamos assim:
x³q³ = - 8.000 ---- ou, o que é a mesma coisa:
(xq)³ = - 8.000
xq = ∛(-8.000) ------ note que ∛(-8.000) = - 20, pois: (-20)³ = - 8.000. Logo:
xq = - 20      . (II)

iii) Agora vamos na expressão (I), que é esta:

x + xq + xq² = 65 ---- note que xq² = xq*q. Então fazemos essa substituição e ficaremos assim:

x + xq + xq*q = 65 ----- substituindo-se "xq" por "-20", teremos:
x + (-20) + (-20)*q = 65
x - 20 - 20q = 65 ---- isolando "x", teremos:
x = 65 + 20 + 20q ---- reduzindo os termos semelhantes, temos:
x = 85 + 20q    . (III)

iv) Agora vamos na expressão (II), que é esta:

xq = - 20 ---- substituindo-se "x" por "85+20q", conforme vimos na expressão (III), teremos:

(85+20q)*q = - 20 ---- efetuando este produto, teremos:
85q + 20q² = - 20 ---- passando-se "-20" para o 1º membro, teremos:
85q + 20q² + 20 = 0 ---- ordenando, ficaremos:
20q² + 85q + 20 = 0 ---- para facilitar, poderemos dividir ambos os membros por " "5", com o que ficaremos apenas com:

4q² + 17q + 4 = 0 ----- se você aplicar Bháskara, vai encontrar as seguintes raízes:

q' = -4
q'' = - 1/4.

v) Como já vimos que "q" poderá ser igual a "-4" ou (-1/4", então vamos encontrar quanto é o valor de "x". Para isso, vamos na expressão (III), que é esta:

x = 85 + 20q

v.a) Substituindo-se "q" por "-4, teremos;

x = 85 + 20*(-4)
x = 85 - 80
x = 5 <--- Este será o valor de "x" para "q" = - 4.

v.b) Substituindo-se "q" por "-1/4", teremos:

x = 85 + 20*(-1/4)
x = 85 - 20/4
x = 85 - 5
x = 80 <--- Este será o valor de "x" para q = - 1/4.

vii) Agora vamos determinar quais são esses números em PG. Para isso vamos na parte em que determinamos como deveriam ser chamados cada termo da PG. Assim, teremos:

vii.a) Para x =   5 e q = -4, teremos:

1º termo: x ----> 5 --------------------> = 5 
2º termo: xq ---> 5*(-4) = - 20 ---> = -20
3º termo: xq² -------> 5*(-4)² = 5*16 = 80

vii.b) Para x = 80 e q = -1/4.

1º termo: x -----> 80 -----------------> = 80
2º termo: xq ---> 80*(-1/4) = -80/4 = - 20
3º termo: xq² ---> 80*(-1/4)² = -80/16 = 5

viii) Assim, como você viu temos uma PG com os mesmos números,porém ela será flutuante (ou oscilante) em ambos os casos, começando com 80 e terminando com 5, ou começando com 5 e terminando com 80,  dependendo do valor da razão tomado (se q = - 4; ou se q = -1/4).
Assim, poderemos ter uma PG flutuante (ou oscilante), com os mesmos números, que poderia ter as seguintes conformações:

Se x = 5 e q = -4, teremos a seguinte PG ---> (5; -20; 80).
Se x = 80 e q = -1/4, teremos a seguinte PG ---> (80; -20; 5).

Observação importante: quando uma PG é flutuante (ou oscilante), não poderemos chamá-la nem de crescente e nem de decrescente, pois flutuante (ou oscilante) é flutuante (ou oscilante) e pronto, certo?

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.