Question

A soma de três números em PG é 39 e o produto entre eles é 729. Calcule os três números.

Answer 1

Temos a seguinte PG:

$( \frac{x}{q} ,x,x*q)$

Logo temos o seguinte sistema:

$\left \{ {{( \frac{x}{q} )+ (x) + (x*q)=39} \atop {( \frac{x}{q} )* (x) * (x*q)=729}} \right.$

Na segunda equação temos:

$( \frac{x}{q} )* (x) * (x*q)=729 \\ \\ x^3 = 729 \\ \\ x = \sqrt[3]{729} \\ \\ x = 9$

Substituindo na primeira temos:

$( \frac{x}{q} )+ (x) + (x*q)=39 \\ \\ ( \frac{9}{q} )+ (9) + (9*q)=39 \\ \\ 9 + 9q + 9q^2 = 39q \\ \\ 9q^2 -30q + 9 = 0 \\ \\ 3q^2 - 10q + 3 = 0$

Δ = $10^2 - (4*3*3)$
Δ = $100 - 36$
Δ = $64$

Logo temos:

$q' = \frac{10 + \sqrt{64} }{2*3} = \frac{10+8}{6} = \frac{18}{6} = 3 \\ \\ q'' = \frac{10 - \sqrt{64} }{2*3} = \frac{10-8}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Para q = 3, temos os termos:

$(3,9,27)$

Para q = 1/3, temos os termos:

$(27,9,3)$