Question

A soma de três números em PA crescente é 15. Conservando-se o primeiro, aumentando-se o segundo de uma unidade e aumentando-se o terceiro de 10 unidades, a sequência assim obtida é uma PG. Qual o maior daqueles números?
A) 10
B) 8
C) 18
D) 2
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Answer 1

Resposta: B) 8

Explicação passo-a-passo:

Temos os 3 termos em ordem crescente: a1, a2 e a3

Sabemos que:

a1 + a2 + a3 = 15

a1 + a1 + r + a1 + 2r = 15

3a1 + 3r = 15

3r = 15 - 3a1

r = (15 - 3a1)/3

r = 5 - a1

Temos que a1, (a1 + r + 1), (a1 + 2r + 10) são termos de um P.G. de razão R. Do segundo termo da P.G. temos que:

a1 + r + 1 = a1 * R

a1 + 5 - a1 + 1 = a1 * R

6 = a1 * R

R = 6/a1

Do terceiro termo da P.G. temos:

a1 + 2r + 10 = a1 * R²

a1 + 2(5 - a1) + 10 = a1 * R²

a1 + 10 -2a1 + 10 = a1 * (6/a1)²

-a1 + 20 = a1 * 36/a1²

-a1 + 20 = 36/a1

-a1² + 20a1 - 36 = 0

a = -1

b = 20

c = -36

Δ = 400 - 144 = 256

a1 = (-20 ± 16) / -2

Encontramos duas soluções para o nosso a1:

a11 = (-20 + 16) / -2 = 2

a12 = (-20 - 16) / -2 = 18

Vamos analisar se as duas soluções satisfazem todos os requisitos do enunciado:

R = 6/a1

R1 = 6/2 = 3

R2 = 6/18 = 1/3

P.G.1 : 2, 6, 18

P.G.2 : 18, 6, 2

r = 5 - a1

r1 = 5-2 = 3

r2 = 5 - 18 = -13

P.A.1 : 2, 5, 8

P.A.2 : 18, 5, -8

Conferindo P.A.1 : 2+5+8 = 15

Comparando P.G.1 e P.A.1 : 2=2, 6=5+1, 18=8+10

Conferindo P.A.2 : 18+5-8 = 15

Comparando P.G.2 e P.A.2 : 18=18, 6=5+1, 2=-8+10

Para ambos os valores de a1 todas as condições são satisfeitas EXCETO uma: "...três números em PA crescente..."

Portanto a solução que nos satisfaz é a primeira. O maior daqueles números (2, 5 e 8) é 8.

♥? 5 estrelas? Melhor resposta? Você decide. \(º-º")/

Bons estudos.