Question

A soma de três números em P.G é 39 e o produto entre eles é 729. Quais são os três números?

Answer 1

P.G é uma progressão que envolve divisão e multiplicação.

Ou seja, o termo antecessor de um número é a obtido pela divisão do número pela razão.
Já o sucessor é obtido através da multiplicação do número pela razão.

Partindo disso, podemos considerar um número de X e a razão de Q, pois é uma P.G.

Temos a progressão:

X/Q ; X ; X.Q

Fazendo um sistema com os dados da questão:

{X/Q + X + X.Q = 39
{X/Q . X . X.Q = 729

Na segunda equação, temos a incógnita Q no denominador e no numerador. Podemos eliminá-lo dessa equação.

X . X . X = 729
X^3 = 729

$x = \sqrt[3]{729}$
x = 9.


Aplicando esse valor na primeira equação para encontrar a razão da P.G:

X/Q + X + X.Q = 39
9/Q + 9 + 9.Q = 39
(9 + 9Q / Q) + 9.Q = 39
9 + 9Q + 9.Q² / Q = 39
9 + 9Q + 9.Q² = 39Q
9Q² + 9Q - 39Q + 9 = 0
9Q² - 30Q + 9 = 0

Equação do 2° grau:

Delta = b² - 4ac
Delta = 900 - 324
Delta = 576 .:. √576 = 24

Q = -b +- √Delta / 2a
Q = 30 +- 24 / 2.9

Q' = 30 + 24 / 18
Q' = 54 / 18
Q' = 3

Q" = 30 - 24 / 18
Q" = 6 / 18

Simplifica por 6:

Q" = 1/3



Como achamos dois valores para a razão da P.G, obrigatoriamente teremos duas progressões e seis números possíveis nela.

Primeira progressão:

X/Q = 9/3 = 3
X = 9
X.Q = 9.3 = 27

→ P.G 1 : {3 ; 9 ; 27}

CRESCENTE.

Segunda progressão:

X/Q = 9/(1/3) = 9.3/1 = 27
X = 9
X.Q = 9.(1/3) = 9/3 = 3

→ P.G 2: {27 ; 9 ; 3}

DECRESCENTE.





Espero que tenha entendido!