Question

a soma de tres números em P. A. crescente é 21 e a soma de seus quadrados é 165. Ache os tres números

Answer 1

Vamos là.

PA
a1 = x - r

a2 = x

a3 = x + r

soma

S = 3x = 21

x = 7

a1 = 7 - r

a2 = 7

a3 = 7 + r

(7 - r)² + 7² + (7 + r)² = 165

(7 - r)² + (7 + r)² = 165 - 49 = 116

r² - 14r + 49 + r² + 14r + 49 = 116

2r² = 116 - 98 = 18

r² = 9

r = 3 positivo porque a PA é crescente

a1 = 7 - 3 = 4

a2 = 7

a3 = 7 + 3 = 10

Answer 2

Resposta:

Explicação passo a passo:

PA: (a1, a2, a3)
a1 + a2 + a3 = 21 (I)
a1² + a2² + a3² = 165 (II)
(a1, a2, a3) = (a1, a1 + r, a1 + 2r)
a2² = (a1 + r)² = a1² + 2.a1.r + r²
a3² = (a1 + 2r)² = a1² + 4.a1.r + 4r²
Resolvendo (I):
a1 + a2 + a3 = 21 ... a1 + a1 + r + a1 + 2r = 21 ... 3a1 +3.r = 21 ... a1 + r = 7 ... r = 7 - a1
Resolvendo (II):
a1² + a2² + a3² = 165 ... a1² + a1² + 2.a1.r + r² + a1² + 4.a1.r + 4r² = 165
3a1² + 6.a1.r + 5r² = 165

Substituindo r:
3a1² + 6.a1.r + 5r² = 165 ... 3a1² + 6.a1.(7 - a1) + 5.(7 - a1)² = 165
3a1² + 42a1 - 6a1² + 245 - 70a1 + 5a1² = 165
2a1² - 28a1 + 80 = 0 (Simplificando a equação por 2)
a1² - 14a1 + 40 = 0
Bhaskara:

Δ = (-14)²- 4.1.40
Δ = 36
a1 = (14 + 6)/2 = 10
a1'' = (14 - 6)/2 = 4
r = 7 - a1:
r = 7 - 10 ... r = -3 (para a1 = 10)
r'' = 7 - 4 ... r = 3 (para a1 = 4)
Com isso, chegamos que a1 pode ser 10 ou 4 (com seus respectivos valores de ''r''). Para saber qual valor é o correto, devemos testar as equações dadas no enunciado:
a1 = 4 e r = 3
a1 + a2 + a3 = 21 ... a1 + a1 + r + a1 + 2r = 21 ... 4 + 4 + 3 + 4 + 2.3 = 21 (ok!)
a1² + a2² + a3² = 165 ... a1² + a1² + 2.a1.r + r² + a1² + 4.a1.r + 4r²
4² + 4² + 2.4.3 + 3² + 4² + 4.4.3 + 4.3² = 165 (ok!)
Com isso, a1 = 4 e r = 3. Caso queira testar a1 = 10 e r = -3, vai ver que os resultados não batem com 21 e 165. Agora podemos encontrar os valores de a2 e a3:  

a2: a1 + r ... 4 + 3 ... a2 = 7
a3: a1 + 2r ... 4 + 2.3 ... a3 = 10

Espero que tenha entendido!