Question

A soma de todos os valores de a ∈ [0, 2π[ que tornam o sistema, a seguir, possível e indeterminado é:

x + y + z = 0
x sen a + y cos a + z (2 sen a + cos a) = 0
x sen ² a + y cos ² a + z (2 sen a + cos a)² = 0

Resposta: 5π

Answer 1

Resposta:

7π/2 ou 3,5π

(não confere com a resposta do enunciado)

Explicação passo-a-passo:

Temos o sistema de equação:

x + y + z = 0 (I)

x sen a + y cos a + z (2 sen a + cos a) = 0 (II)

x sen ² a + y cos ² a + z (2 sen a + cos a)² = 0 (III)

Fazendo (I).-sen(a)+(II), e (I).-sen ² a+(III), temos:

x + y + z = 0 (I)

y (cos a - sen a) + z (sen a + cos a) = 0 (IV)

y (cos ² a - sen ² a) + z [(2 sen a + cos a)² - sen ² a] = 0 (V)

Fazendo (IV).-(cos a + sen a) + (V), temos:

x + y + z = 0 (I)

y (cos a - sen a) + z (sen a + cos a) = 0 (IV)

z {[(2 sen a + cos a)² - sen ² a] - (sen a + cos a)²} = 0 (VI)

Logo, para o sistema ser possível e indeterminado, temos pela equação (VI) que:

z {[(2 sen a + cos a)² - sen ² a] - (sen a + cos a)²} = 0

[(2 sen a + cos a)² - sen ² a] - (sen a + cos a)² = 0

(2 sen a + cos a)² - sen ² a = (sen a + cos a)²

4 sen ² a + 4. sen a. cos a + cos ² a - sen ² a = sen ² a + 2. sen a. cos a + cos ² a

3 sen ² a + 4. sen a. cos a = sen ² a + 2. sen a. cos a

3 sen ² a - sen ² a + 4. sen a. cos a - 2. sen a. cos a = 0

2 sen ² a + 2. sen a. cos a = 0

2. (sen ² a + sen a. cos a) = 0

sen ² a + sen a. cos a = 0

sen a (sen a + cos a) = 0

Logo, temos:

1) sen a= 0

Logo, a=0 ou π ( no intervalo [0, 2π[ )

2) sen a + cos a = 0

sen a = - cos a

a= 3π/4 ou 7π/4 ( no intervalo [0, 2π[ )

Portanto, a soma de todos os valores de a ∈ [0, 2π[ que tornam o sistema possível e indeterminado é dada por:

0 + π + 3π/4 + 7π/4 =

(4π + 3π + 7π)/4 =

14π/4 =

7π/2 ou 3,5π

Blz?

Abs :)

Answer 2

Resposta: A soma $S$ dos valores de $a \in [0,2\pi[$ é $S=5\pi.$

Explicação passo-a-passo:

Para que um sistema linear homogêneo (todas as equações lineares iguais a zero) seja possível ou compatível e indeterminado, o determinante da matriz  dos coeficientes das variáveis $x$, $y$ e $z$ (matriz incompleta) deve ser nulo (igual a zero). Olhando para o sistema homogêneo, percebe-se com facilidade que a matriz incompleta $A$ do sistema é dada por:

$A=\left[\begin{array}{ccc}1&1&1\\sen(a)&cos(a)&2sen(a)+cos(a)\\sen^{2}(a)&cos^{2}(a)&(2sen(a)+cos(a))^{2}\\\end{array}\right]$

E o seu determinante será:

$det(A)=\left|\begin{array}{ccc}1&1&1\\sen(a)&cos(a)&2sen(a)+cos(a)\\sen^{2}(a)&cos^{2}(a)&(2sen(a)+cos(a))^{2}\\\end{array}\right|$

A matriz $A$ e o seu determinante $det(A)$ são chamados, respectivamente, Matriz de Vandermonde e Determinante de Vandermonde. Considere uma matriz quadrada $A'=(a_{ij})_{3x3}$ de ordem três, dada por:

$A'=\left[\begin{array}{ccc}1&1&1\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\(a_{21})^{2}&(a_{22})^{2}&(a_{23})^{2}\end{array}\right] =\left[\begin{array}{ccc}(a_{21})^{0}&(a_{22})^{0}&(a_{23})^{0}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\(a_{21})^{2}&(a_{22})^{2}&(a_{23})^{2}\end{array}\right]$

Os elementos da segunda linha da matriz, dados por $a_{21}$, $a_{22}$ e $a_{23}$, são chamados elementos característicos da matriz $A'=(a_{ij})_{3x3}$, que por sua vez é uma Matriz de Vandermonde. O determinante $det(A')$ é dado através do produto de todas as diferenças possíveis entre dois quaisquer elementos característicos, tomando o cuidado do índice inferior do minuendo ser sempre maior que o do subtraendo. Ou seja:

$det(A')=\Pi_{1\leq j<i\leq 3}(a_{2i}-a_{2j})=(a_{22}-a_{21})\cdot (a_{23}-a_{22})\cdot(a_{23}-a_{21})$

Posto isto, temos que o determinante $det(A)$ da matriz incompleta $A$ do sistema homogêneo, quando igualado a zero, reduz-se a:

$det(A)=\left|\begin{array}{ccc}1&1&1\\sen(a)&cos(a)&2sen(a)+cos(a)\\sen^{2}(a)&cos^{2}(a)&(2sen(a)+cos(a))^{2}\\\end{array}\right|=0\ \ \ \Rightarrow$

$(cos(a)-sen(a))\cdot (2sen(a)+cos(a)-sen(a))\cdot (2sen(a)+cos(a)-cos(a))=0\ \ \ \ \Rightarrow$

$(cos(a)-sen(a))\cdot (cos(a)+sen(a))\cdot(2sen(a))=0\ \ \ \Rightarrow$

$(cos^{2}(a)-sen^{2}(a))(2sen(a))=0\ \ \ \Rightarrow$

$(cos(a)\cdot cos(a)-sen(a)\cdot sen(a))(2sen(a))=0\ \ \ \Rightarrow$

$cos(a+a)\cdot (2sen(a))=0\ \ \ \Rightarrow$

$2\cdot sen(a)\cdot cos(2a)=0$

$2\cdot sen(a)\cdot cos(2a)=0\ \ \ e\ \ \ 0\leq a<2\pi \ \ \ \Rightarrow$

$a =0\ \ (i)$

$a=\pi\ \ (ii)$

$a=\frac{\pi}{4}\ \ (iii)$

$a=\frac{3\pi}{4}\ \ (iv)$

$a=\frac{5\pi}{4}\ \ (v)$

$a=\frac{7\pi}{4}\ \ (vi)$

Acima, indicados por $(i)$, $(ii)$, $(iii)$, ..., $(vi)$ são todos os valores de $a \in [0,2\pi[$ que tornam o sistema possível e indeterminado. Logo, a soma $S$ dos valores de $a$ é dada por: $S=(i)+(ii)+(iii)+...+(vi)=0+{\pi}+\frac{\pi}{4}+...+\frac{7\pi}{4}=5\pi$.

Abraços!