Question

a soma de todos os números naturais múltiplos de 9 que são formados por quatro algarismos deixa como resto:
a)0 na divisão por 6
b)1 na divisão por 3
c)3 na divisão por 4
d)2 na divisão por 5
e)4 na divisão por 10​

Answer 1

Se o numero deve ter 4 algarismos, deverá ser maior que 999 e menor que 10000.

Utilizando PA's para resolver a questão teremos:

--> razao = 9               [já que são múltiplos de 9]

--> a1 = 1008               [primeiro múltiplo de 9 no intervalo]

--> an = 9999             [ultimo múltiplo de 9 no intervalo]

Utilizando a equação do termo geral, temos:

$a_n=a_1+(n-1).r\\\\9999=1008+(n-1).9\\\\n-1=\frac{9999-1008}{9}\\\\n=\frac{8991}{9}+1\\\\\boxed{n=1000}$

Temos, portanto, 1000 múltiplos de 9 no intervalo. Utilizando agora a equação da soma dos termos, temos:

$S_n=\frac{(a_1+a_n).n}{2}\\\\S_{1000}=\frac{(1008+9999).1000}{2}\\\\S_{1000}=(11007)~.~500\\\\\boxed{S_{1000}=5503500}$

Analisando as alternativas achamos:

a) Certo, 5503500/6 = 917250

Answer 2

Para encontrar a resposta, a maneira mais fundamental a se usar é Progressão Aritmética e Soma de Progressão Aritmética:

an = a1 + (n-1).r,

Em que "an" é a posição do termo que nós queremos (o último), "a1" é o primeiro termo (de 4 dígitos), "n" a quantidade de números dentro da Progressão (múltiplos de 9) e r a diferença entre cada termo da Progressão.

Sabemos que o último termo que queremos com 4 dígitos é 9999, o primeiro é 1008, e que os múltiplos são de 9. Então:

9999 = 1008 + (n-1).9

Com isso, acha-se que n = 1000. Agora, pra somar todos os múltiplos, usamos a Soma de Progressão Aritmética:

Sn = [(an + a1).n]÷2,

Em que "Sn" é a soma dos números dentro da Progressão (múltiplos de 9). Então:

Sn = [(9999 + 1008).1000]÷2

Logo, Sn = 5.503.500.

Agora, comparando com as alternativas, a única que se encaixa com o padrão da resposta correta é a "a", pois dividindo-se 5.503.500 por 6 deixa como resto 0.