Question

a soma de todos os infinitos termos de uma progressão geométrica estritamente decrescente é igual 512/3. se o primeiro termo dessa progressão for 128 então o sexto termo é
a)1/8
b)1/2
c)1/4
d)-1/8
e)-1/32​

Answer 1

Fórmula da soma dos termos de uma progressão geométrica infinita:

$S_\infty = \dfrac{a_1}{1-q}$

$S_\infty - q\cdot S_\infty = a_1$

$q = \dfrac{S_\infty -a_1}{S_\infty }$

$q = 1 - \dfrac{a_1}{S_\infty }$

A questão pede o sexto termo, que é dado pela fórmula:

$a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$

$a_6 = a_1 \cdot q^5$

Substituindo o valor da razão encontrado:

$a_6 = a_1 \cdot \left(1-\dfrac{a_1}{S_\infty }\right)^5$

Substituindo os valores do enunciado:

$a_6 = 2^7\cdot\left(1- \dfrac{2^7\cdot 3}{2^9}\right)^5$

$a_6 = 2^7\cdot\left(1- \dfrac{3}{4}\right)^5$

$a_6 = 2^7\cdot\left(\dfrac{1}{4}\right)^5$

$a_6 = 2^7\cdot\dfrac{1}{(2^2)^5}$

$a_6 = 2^7\cdot\dfrac{1}{2^{10}}$

$a_6 = \dfrac{1}{2^3}$

$\boxed{a_6 = \dfrac{1}{8}}$

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