Question

A soma de todos os elementos da matriz X, de ordem 2, dada por $2X+X^{t}$=$\left[\begin{array}{cc}3&8\\7&0\end{array}\right]$ é:

a) 2
b) 4
c) 5
d) 6
e) 9

Answer 1

Olá!

$\\ \mathsf{\qquad Seja \ X = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}, \ ent\~ao \ X^t = \begin{bmatrix} a & c \\ b & d \end{bmatrix}.} \\\\ \mathsf{Com \ efeito,} \\\\ \mathsf{2X + X^t = \begin{bmatrix} 3 & 8 \\ 7 & 0 \end{bmatrix}} \\\\\\ \mathsf{\begin{bmatrix} 2a & 2b \\ 2c & 2d \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} a & c \\ b & d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 8 \\ 7 & 0 \end{bmatrix}} \\\\\\ \mathsf{\begin{bmatrix} 3a & 2b + c \\ 2c + b & 3d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 8 \\ 7 & 0 \end{bmatrix}}$

$\\ \mathsf{\begin{cases} \mathsf{3a = 3 \Rightarrow \boxed{\mathsf{a = 1}}} \\ \mathsf{2b + c = 8 \qquad \qquad \ eq. \ II} \\ \mathsf{2c + b = 7 \qquad \qquad \ eq. \ III} \\ \mathsf{3d = 0 \Rightarrow \boxed{\mathsf{d = 0}}} \end{cases}} \\\\ \mathsf{Resolvendo \ o \ sistema \ formado \ por \ II \ e \ III, \ tiramos \ que: \ \boxed{\mathsf{b = 3}} \ e \ \boxed{\mathsf{c = 2}}.}$

 Por fim, efectuamos a soma dos elementos de $\mathsf{X}$. Segue,

$\\ \mathsf{a + b + c + d = 1 + 3 + 2 + 0} \\ \boxed{\boxed{\mathsf{a + b + c + d = 6}}}$