Question

A soma de todos inteiros x tais que
$( {x}^{2} - 3x + 1) ^{x + 1} = 1$
é
a-) 1
b-) 2
c-) 3
d-) 4
e-) 5

Answer 1

Extraia a raíz de índice x + 1 em ambos os lados:

$x^2 - 3x +1 = \sqrt[x+1]{1}$

Toda raíz de 1 é 1 ( para todo x ≥ 0 ), então:

$x^2 - 3x +1 = 1 \\\\ x^2 -3x = 0 \\\\ x (x -3) = 0 \\\\ x_1 = 0 \\\\ x_2 = 3$

A outra possibilidade é a seguinte: Podemos escrever 1 como sendo ( x² - 3x + 1 ) elevado a 0, pois qualquer expressão não nula elevada a 0 é igual a 1.
Obviamente estamos restringindo os valores de x para ${ 3 \pm \sqrt{5} \over 2}$ ( raízes da equação x² - 3x + 1 = 0 ), do contrário teríamos 0 elevado a 0 e essa expressão é indefinida.

$( x^2 -3x +1)^{x+1 } = ( x^2 -3x +1)^0$

Dado que as bases são iguais, os expoentes também são:

$x + 1 = 0 \\\\ x_3 = -1$

Outra solução que eu achei "na tora" é $x_4 = 1$. Infelizmente não consegui chegar nesse resultado de forma algébrica, foi mais por intuição mesmo
:(

Somando todos os valores inteiros encontrados para x:

$S = x_1 + x_2 + x_3 + x_4 \\\\ S = 0 + 3 + ( -1 ) + 1 \\\\ \boxed{S = 3 }$

$\mathbf{Letra \: c)}$