Question

A soma de todas as raizes da equação x²-√x²=4 é igual?

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Equação irracional/modular

Dada a equação :

$\sf{ x^2 - \sqrt{x^2} ~=~ 4 }$

Sabe-se que: $\sf{ \sqrt{x^2}~=~ |~x~| }$ . Então temos que :

$\Longrightarrow \purple{ \sf{ x^2 - |~x~| ~=~ 4 } }$

Então :

$\Longrightarrow \sf{ |~x~|~=~ x^2 - 4 }$

Definição Algébrica do módulo :

$\Longrightarrow \sf{|~x~|~=~} \begin{cases}\sf{ x~,~se~ x\geq 0 } \\ \\ \sf{ -x~,~se~ x < 0 } \end{cases}$

Analogamente vamos ter que :

$\Longrightarrow \sf{ x~=~x^2 - 4~\vee~-x~=~ x^2-4 }$

$\Longrightarrow \sf{ x^2 - x - 4~=~0(I)~\vee~x^2+x-4~=~0(II) }$

Vamos comečar por achar as raízes da equação (I) :

$\Longrightarrow \sf{ x^2 + x \red{ + \Big( \dfrac{1}{2}\Big)^2 - \Big( \dfrac{1}{2} \Big)^2} - 4 ~=~ 0 }$

$\Longrightarrow \sf{ \Big( x + \dfrac{1}{2} \Big)^2 ~=~ \dfrac{17}{4} }$

$\Longrightarrow \sf{ x + \dfrac{1}{2}~=~ \pm \dfrac{\sqrt{17}}{2} }$

$\Longrightarrow \boxed{ \sf{ x_{1,2}~=~ \pm \dfrac{\sqrt{17} - 1}{2} } }$

Agora vamos pegar na equação (II) :

$\sf{ x^2 - x - 4 ~=~ 0 }$ Fazendo o mesmo procedimento :

$\Longrightarrow \sf{ x^2 - x \pink{+ \Big( \dfrac{1}{2} \Big)^2 - \Big( \dfrac{1}{2} \Big)^2 } - 4 ~=~ 0 }$

$\Longrightarrow \sf{ \Big( x - \dfrac{1}{2} \Big)^2 ~=~ \dfrac{ \sqrt{17} }{2} }$

$\Longrightarrow \sf{ x - \dfrac{1}{2}~=~ \pm \dfrac{ \sqrt{17} }{2} }$

$\Longrightarrow \sf{ x_{3,4}~=~ \pm\dfrac{\sqrt{17}+1}{2} }$

Então perceba que o enunciado quer a soma de todas as raízes ou seja: $\sf{\blue{ x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4} }}$.

Portanto :

$\sf{ x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4} ~=~ -\dfrac{\sqrt{17}-1}{2} + \dfrac{\sqrt{17}-1}{2} - \dfrac{\sqrt{17}+1}{2} + \dfrac{\sqrt{17}+1}{2} }$

$\sf{ x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4} ~=~\red{ -\Big(\dfrac{\sqrt{17}+1}{2} \Big)}+ \dfrac{\sqrt{17}-1}{2} - \dfrac{\sqrt{17}+1}{2} + \red{\Big(\dfrac{\sqrt{17}+1}{2}\Big)} }$

$\sf{ x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4} ~=~ \dfrac{\sqrt{17}}{2}-\dfrac{1}{2} - \dfrac{\sqrt{17}}{2}+\dfrac{1}{2} }$ Tudo simétrico, logo é zero :

$\green{ \Longrightarrow \boxed{ \sf{ x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}~=~ 0 } } \sf{ \longleftarrow Resposta } }$

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Espero ter ajudado bastante!)

Stephen Hawking

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