Question

a soma de todas as arestas da base de um prisma hexagonal regular mede 48 cm. sendo a altura o dobro da aresta da base, calcule a área total e o volume desse prisma.

Answer 1

Primeiro devemos calcular quanto mede cada aresta da base, sabe-se que um hexagono tem 6 aresta, e se a soma dessas 6 arestas é 48, basta dividirmos 48 por 6, para poder achar qual é o valor de cada aresta.

48 : 6 = 8

Portanto cada aresta mede 8 cm

No problema fala que a altura é o dobro da aresta da base, então basta multiplicarmos 8 por 2.

8 * 2 = 16

Portanto a altura é de 16 cm.

Como se trata de um prisma de base hexagonal, ele vai ter 6 retângulos e dois prismas em sua construção
Vamos calcular área de apenas um hexagono, usando a seguinte formula matemática:

$A = 3 \ * \frac{l^{2} \sqrt{3} }{2} \\ A = 3 \ * \frac{8^{2} \sqrt{3} }{2} \\ A = 3 * \frac{64 \sqrt{3} }{2} \\ A = 3 * 32 \sqrt{3} \\ \boxed{A = 96 \sqrt{3}}$

Portanto á área de apenas um hexágono é de 96√3. Agora vamos multiplicar esse valor por 2, pois existem dois hexágonos.

96√3 * 2 = 192√3cm

Agora devemos calcular a área de apenas um retângulo e depois multiplicar por 6.

A = b * h
A = 8 * 16
A = 128

128 * 6 = 768 cm²

Portanto as somas da área dos seis retângulos é de 768 cm².
Agora devemos somar esse valor mais a área dos dois hexágonos para achar a área total da figura.

768 + 192√3  "vamos considerar raiz de 3 sendo 1,7"
768 + 192 * 1,7
768 + 326,4
1094,4 cm²

Com isso podemos concluir que a área total da figura é de 1094,4 cm² aproximadamente.

→Agora para calcular qual é o volume dela basta pegar a área da base que é de 96√3 e multiplicar pela altura que é 16 cm.

$V = A_{b} * h \\ V = 96 \sqrt{3} * 16 \\ V = 1536 \sqrt{3} \ \ \ \ \boxed{\sqrt{3} = 1,7} \\ \boxed{V = 2611,2 \ cm^{3}}$

Portanto o volume desse prisma é de 2.611,2 cm³ aproximadamente