Question

A soma de dois números naturais é 29 . o mínimo valor para a soma de seus quadrados qual é?

Answer 1

x + y = 29
(x + y)² = 29²
x² + 2xy + y² = 841
x² + y² = 841 - 2xy

Queremos saber o valor mínimo de 841 - 2xy. Substituindo y por 29 - x, obtemos:
f(x) = 841 - 2x.(29 - x)
f(x) = 841 - 58x + 2x²

O ponto de mínimo da função é obtido por:
y(min) = - Δ/4a
y(min) = - [(- 58)² - 4.2.841]/8
y(min) = 420,5

O valor mínimo de x é obtido por:
x(min) = - b/2a
x(min) = - (- 58)/4
x(min) = 14,5

Como estamos trabalhando com números naturais, x mínimo tem que ser natural. Os valores naturais mais próximos são 14 e 15. Observe que se admitirmos o valor 14, o outro número será (29 - 14) = 15 e vice-versa. Logo os dois números naturais que geram o valor mínimo da soma dos quadrados são 14 e 15:

x² + y² = 14² + 15² = 196 + 225 = 421 (que é o número natural mais próximo de y(min) = 420,5).