Question

a soma de dois números inteiros Vale 12 e o produto entre eles é 27 qual é o valor do dobro do menor número,?​

Answer 1

Comecemos por passar o problema para linguagem matemática:

$"a\;soma\;de\;dois\;n\acute umeros\;inteiros\;vale\;12"\;\;\;\longrightarrow\;\;\;x+y=12\;,\;\;x,y\in\mathbb{Z}$

$"o\;produto\;entre\;eles\;\acute e\;27"\;\;\;\longrightarrow\;\;\;xy=27$

Façamos então um Sistema de Equações Lineares com estas equações:

    $\begin{cases}x+y=12\\\\xy=27\end{cases},\;\;x,y\in\mathbb{Z}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow\begin{cases}x=12-y\\\\(12-y)y=27\end{cases},\;\;x,y\in\mathbb{Z}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow\begin{cases}x=12-y\\\\12y-y^2=27\end{cases},\;\;x,y\in\mathbb{Z}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow\begin{cases}x=12-y\\\\-y^2+12y-27=0\end{cases},\;\;x,y\in\mathbb{Z}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow\begin{cases}x=12-y\\\\y^2-12y+27=0\end{cases},\;\;x,y\in\mathbb{Z}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow\begin{cases}x=12-3\\\\y=3\end{cases},\;\;x,y\in\mathbb{Z}\;\;\;\;\vee\;\;\;\;\begin{cases}x=12-9\\\\y=9\end{cases},\;\;x,y\in\mathbb{Z}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow\begin{cases}x=9\\\\y=3\end{cases},\;\;x,y\in\mathbb{Z}\;\;\;\;\vee\;\;\;\;\begin{cases}x=3\\\\y=9\end{cases},\;\;x,y\in\mathbb{Z}$

Concluimos assim que os dois números são 3 e 9.

A pergunta não para, no entanto, aqui e temos ainda de calcular o valor do dobro do menor número, isto é:

    $2\times3=6$

Resposta: O dobro do menor número que satisfaz as condições dadas é 6.

    Cálculos Auxiliares    

    $y^2-12y+27=0$

    $y=\dfrac{-(-12)\pm\sqrt{(-12)^2-4\times1\times27}}{2\times1}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow y=\dfrac{12\pm\sqrt{144-4\times27}}{2}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow y=\dfrac{12\pm\sqrt{144-108}}{2}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow y=\dfrac{12\pm\sqrt{36}}{2}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow y=\dfrac{12\pm6}{2}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow y=\dfrac{12-6}{2}\;\;\vee\;\;y=\dfrac{12+6}{2}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow y=\dfrac{6}{2}\;\;\vee\;\;y=\dfrac{18}{2}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow y=3\;\;\vee\;\;y=9$

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