Question

A soma de dois números é 6 e a soma dos seus quadrados é 68.O produto desses dois números é?

Answer 1

x+y =6
x^2 + y^2 = 68

Na primeira equação podemos passar x para o outro lado, assim ficando com:
y = 6-x

subistitua isso na segunda equaçao:

x^2 + (6-x)^2 = 68
x^2 + 36-2*6x+x^2 =68
x^2 + 36-12x+x^2 = 68
2x^2 -12× + 36 = 68
2x^2 -12× + 36 -68 =0
2x^2 -12×-32 =0

Vou resolver por soma e produto:
S = -b/a
P = c/a

S= 12/2 =6
P = -32/2 =-16

Qual numero a soma da 6 e o produto -16?
8 e -2, ou seja, o x pode assumir esses 2 valores!

se x=8 então:
y = 6-x
y = 6-8
y = -2

x*y = 8*-2 = -16
---------------------

se x= -2então:
y = 6-x
y = 6-(-2)
y = 6+2
y=8

x*y = -2*8 = -16

Nao importa o valor que você escolhe pra x(8 ou -2), o resultado será sempre -16.

Answer 2

Sabemos que a soma de dois números x e y (incógnitos) é igual a 6, ou seja:

$\mathsf{x+y=6\qquad (i)}$

Também nos foi informado que a soma do quadrado de x com o quadrado de y é 68, o que equivale, em linguagem matemática, a:

$\mathsf{x^2+y^2=68\qquad(ii)}$

Baseado nas informações acima, o exercício deseja encontrar o valor de xy, que é o produto de x por y. Para isso, deve-se primeiro partir de (i) e proceder da seguinte maneira:

$\mathsf{\qquad\quad\ \ \: x+y=6}\\\\ \mathsf{\iff\quad (x+y)^2=6^2}$

Lembrando que (x + y)² = x² + 2xy + y², temos:

$\mathsf{\qquad\quad\: \ (x+y)^2=6^2}\\\\ \mathsf{\iff\quad x^2+2xy+y^2=36}\\\\ \mathsf{\iff\quad x^2+y^2+2xy=36}$

Agora, lembre-se também (de (ii)) que x² + y² = 68, logo:

$\mathsf{\qquad\quad~\: \underbrace{\mathsf{x^2+y^2}\!\!}_{68}\ +\,2xy=36}\\\\\\ \mathsf{\iff\quad 68+2xy=36}\\\\ \mathsf{\iff\quad 2xy=36-68}\\\\ \mathsf{\iff\quad 2xy=-32}\\\\ \mathsf{\iff\quad xy=-\dfrac{32}{2}}\\\\ \mathsf{\iff\quad xy=-16}$

Ou seja, o produto xy é igual a - 16.

Resposta:

$\large\boxed{\mathsf{xy=-16}}$

Obs.: as identidades algébricas (x + y)² = x² + 2xy + y² e x² + y² = (x - y)² + 2xy são válidas para todo x e y complexos.