Question

A soma de dois números é 3 e a soma de seus cubos é 25. Qual a soma de seus quadrados ?

Answer 1

Olá, Guisuares.

$x^3+y^3= (x + y) (x^2 - xy + y^2)\Rightarrow25=3(x^2-xy+y^2)\Rightarrow\\\\x^2-xy+y^2=\frac{25}3\Rightarrow x^2+y^2=\frac{25}3+xy\text{ (i)}\\\\(x+y)^2=9\Rightarrow x^2+2xy+y^2=9\Rightarrow x^2+y^2=9-2xy\text{ (ii)}\\\\\text{De (i) e (ii), temos que: }\frac{25}3+xy=9-2xy\Rightarrow xy+2xy=9-\frac{25}3\Rightarrow\\\\ 3xy=\frac{27-25}3\Rightarrow xy=\frac29\\\\\text{Substituindo o valor de }xy\text{ em (ii), temos: }x^2+y^2=9-2\cdot\frac29=\frac{81-4}9$

$\therefore\boxed{x^2+y^2=\frac{77}9}$