Question

A soma de dois numeros é 10 e a soma de seus quadrados é 82. determine esses numero.

Answer 1

$\begin{cases}x+y=10~(I)\\ x^{2} +y ^{2}=82~(II) \end{cases}$

Isolando x na equação I, podemos substituir na equação II:

$x=10-y~(I)\\\\ x^{2} +y ^{2}=82~(II)\\ (10-y) ^{2}+y ^{2}=82\\ 100-10y-10y+y ^{2}+y ^{2}=82\\ 2 y^{2}-20y+100-82=0\\\\ 2 y^{2}-20y+18=0\\\\ dividindo~a~equacao~por~2,~temos:\\\\ y ^{2}-10y+9=0$

$\boxed{\Delta=b ^{2}-4ac}\\\\ \Delta=(-10) ^{2}-4*1*9\\ \Delta=100-36\\ \Delta=64$

$\boxed{y= \frac{-b\pm \sqrt{\Delta} }{2a} }\\\\\\ \boxed{y= \frac{-(-10)\pm \sqrt{64} }{2*1}~\to~y= \frac{10\pm8}{2}~\to~\begin{cases}y'= \frac{10-8}{2}~\to~y'=1\\ y''= \frac{10+8}{2}~\to~y''=9 \end{cases}}$

$Quando~y=1:~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~Quando~y=9:\\\\ x+y=10~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ x+y=10 \\ x+1=10~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~x+9=10\\ x=10-1~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~x=10-9 \\ x=9~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ x=1$


Podemos então concluir que os números são 9 e 1, 1 e 9.


Espero ter ajudado e tenha ótimos estudos XD