Question

A soma  de dois n° é 6, e a soma de seus quadrados é 68. O modulo da diferença é

a) 2   b)4   c)6    d)8   E) 10

Answer 1

Primeiro vamos um sistema com os dados que temos $<var>\left \{ {{a+b=6} \atop {a^2+b^2=68}} \right.</var>$

Vamos isolar o valor de a na primeira equação, tendo a=6-b e substituir esse valor na segunda equação. $<var>(6-b)^2+b^2=68 => 36-12b+b^2+b^2=68=>2b^2-12b-32=0</var>$

$<var>b^2-6b-16=0</var>$

Depois disso usaremos bhaskará para acha os valores de b, e encontraremos $<var>b_{1}=-2 \ \ \ \ \ b_{2}=8</var>$
Substituiremos o valor de b=-2 na primeira equação e encontraremos a =8

Substituiremos o valor de b=8 na primeira equação e encontraremos a=-2

 

A modulo da diferença, em ambos os casos terá o mesmo valor 10 ==> |8-(-2)| ==> |8+2| => 10  e ===>|-2-8|=> |-10|=> 10

 

Um abraço ai.

Answer 2

Sabemos que a soma de dois números x e y (incógnitos) é igual a 6, ou seja:

$\mathsf{x+y=6\qquad (i)}$

Também nos foi informado que a soma do quadrado de x com o quadrado de y é 68, o que equivale, em linguagem matemática, a:

$\mathsf{x^2+y^2=68\qquad(ii)}$

Baseado nas informações acima, o exercício deseja encontrar o valor de |x - y|, que é o módulo da diferença entre x e y. Para isso, deve-se primeiro partir de (i) e proceder da seguinte maneira:

$\mathsf{\qquad\quad\ \ \: x+y=6}\\\\ \mathsf{\iff\quad (x+y)^2=6^2}$

Lembrando que (x + y)² = x² + 2xy + y², temos:

$\mathsf{\qquad\quad\: \ (x+y)^2=6^2}\\\\ \mathsf{\iff\quad x^2+2xy+y^2=36}\\\\ \mathsf{\iff\quad x^2+y^2+2xy=36}$

Agora, lembre-se também (de (ii)) que x² + y² = 68, logo:

$\mathsf{\qquad\quad~\: \underbrace{\mathsf{x^2+y^2}\!\!}_{68}\ +\,2xy=36}\\\\\\ \mathsf{\iff\quad 68+2xy=36}\\\\ \mathsf{\iff\quad 2xy=36-68}\\\\ \mathsf{\iff\quad 2xy=-32}$

Ou seja, descobrimos o valor de 2xy. Sabendo que 2xy = - 32, estamos aptos a calcular o valor de |x - y| (valor desejado), e para tal fim, vamos partir da equação (ii) e manipular algebricamente o seu primeiro membro, na tentativa de encontrar a expressão |x - y|. Portanto, ficaremos com:

$\mathsf{x^2+y^2=68}$

Sabendo que x² + y² = (x - y)² + 2xy, obtém-se:

$\mathsf{\qquad\quad \ \: \ x^2+y^2=68}\\\\ \mathsf{\iff\quad (x-y)^2+\!\underbrace{\mathsf{2xy}}_{-32}=68}\\\\\\ \mathsf{\iff\quad (x-y)^2-32=68}\\\\ \mathsf{\iff\quad (x-y)^2=68+32}\\\\ \mathsf{\iff\quad (x-y)^2=100}$

E por último, tendo em mente a propriedade √x² = |x| (x ∈ R), chega-se ao resultado final:

$\mathsf{\qquad\quad~~\:\, \sqrt{\!(x-y)^2}=\sqrt{100}}\\\\ ~\ \mathsf{\iff\quad |x-y|=10}$

Ou seja, o valor de |x - y| = |y - x| é 10.

Resposta:

$\ \large\boxed{\mathsf{|x-y|=10}}$

• Item correto: E).

Obs.: as identidades algébricas (x + y)² = x² + 2xy + y² e x² + y² = (x - y)² + 2xy são válidas para todo x e y complexos.