Question

A soma de cinco números, reais e inteiros, em progressão aritméticas é 25 e o produto vale -880. Determine esses números

Answer 1

a = x - 2r
b = x - r
c = x
d = x + r
e = x + 2r

(x - 2r) + (x - r) + x + (x + r) + (x + 2r) = 25
5x = 25
x = 25/5
x = 5

(x - 2r) . (x - r) . x . (x + r) . (x + 2r) = -880
(5 - 2r) . (5 - r) . 5 . (5 + r) . (5 + 2r) = -880
(5 - 2r) . (5 + 2r) . 5 . (5 + r) . (5 - r) = -880
(25 - 4r²) . 5 . (25 - r²) = -880
(25 - 4r²) . (125 - 5r²) = -880
3125 - 125r² - 500r² + 20r⁴ = -880
20r⁴ - 625r² + 3125 + 880 = 0
20r⁴ - 625r² + 4005 = 0
4r⁴ - 125r² + 801 = 0

Se dissermos que r² = y:

4y² - 125y + 801 = 0
Δ = b² - 4ac
Δ = 15625 - 12816
Δ = 2809

y = (-b+-√Δ)/2a
y = (125 +- 53)/8

y' = (125+53)/8 = 178 / 8 = 22,25
y" = (125-53)/8 = 72 / 8 = 9

r² = y
r = √y

r' = √9 = 3
r" = √9 = -3
r"' = √22,25 = 4,71 (não serve, pois precisa ser inteiro)
r"" = √22,25 = -4,71 (não serve, pois precisa ser inteiro)

Com r = 3

a = x - 2r = 5 - 6 = -1
b = x - r = 5 - 3 = 2
c = x = 5
d = x + r = 5 + 3 = 8
e = x + 2r = 5 + 6 = 11

-1 + 2 + 5 + 8 + 11 = 25 (ok)
(-1) . 2 . 5 . 8 . 11 = -880 (ok)

Com r = -3

a = x - 2r = 5 + 6 = 11
b = x - r = 5 + 3 = 8
c = x = 5 
d = x + r = 5 - 3 = 2
e = x + 2r = 5 - 6 = -1

11 + 8 + 5 + 2 - 1 = 25
11 . 8 . 5 . 2 . (-1) = -880

Portanto nossas PA podem ser:

{11, 8, 5, 2, -1} ou
{-1, 2, 5, 8, 11}

=)

Answer 2

Resposta:

a = x - 2r

b = x - r

c = x

d = x + r

e = x + 2r

(x - 2r) + (x - r) + x + (x + r) + (x + 2r) = 25

5x = 25

x = 25/5

x = 5

(x - 2r) . (x - r) . x . (x + r) . (x + 2r) = -880

(5 - 2r) . (5 - r) . 5 . (5 + r) . (5 + 2r) = -880

(5 - 2r) . (5 + 2r) . 5 . (5 + r) . (5 - r) = -880

(25 - 4r²) . 5 . (25 - r²) = -880

(25 - 4r²) . (125 - 5r²) = -880

3125 - 125r² - 500r² + 20r⁴ = -880

20r⁴ - 625r² + 3125 + 880 = 0

20r⁴ - 625r² + 4005 = 0

4r⁴ - 125r² + 801 = 0

Se dissermos que r² = y:

4y² - 125y + 801 = 0

Δ = b² - 4ac

Δ = 15625 - 12816

Δ = 2809

y = (-b+-√Δ)/2a

y = (125 +- 53)/8

y' = (125+53)/8 = 178 / 8 = 22,25

y" = (125-53)/8 = 72 / 8 = 9

r² = y

r = √y

r' = √9 = 3

r" = √9 = -3

r"' = √22,25 = 4,71 (não serve, pois precisa ser inteiro)

r"" = √22,25 = -4,71 (não serve, pois precisa ser inteiro)

Com r = 3

a = x - 2r = 5 - 6 = -1

b = x - r = 5 - 3 = 2

c = x = 5

d = x + r = 5 + 3 = 8

e = x + 2r = 5 + 6 = 11

-1 + 2 + 5 + 8 + 11 = 25 (ok)

(-1) . 2 . 5 . 8 . 11 = -880 (ok)

Com r = -3

a = x - 2r = 5 + 6 = 11

b = x - r = 5 + 3 = 8

c = x = 5  

d = x + r = 5 - 3 = 2

e = x + 2r = 5 - 6 = -1

11 + 8 + 5 + 2 - 1 = 25

11 . 8 . 5 . 2 . (-1) = -880

Portanto nossas PA podem ser:

{11, 8, 5, 2, -1} ou

{-1, 2, 5, 8, 11}

Explicação passo-a-passo: