Question

a soma de cinco números inteiros em progressão aritmética é 25 e o produto ,  945. ache esses números.

Answer 1

Números: $x-2r$, $x-r$, $x$, $x+r$ e $x+2r$

$x-2r+x-r+x+x+r+x+2r=25$

$5x=25$ ⇒ $x=5$

$(x-2r).(x-r).x.(x+r).(x+2r)=945$

$(x-2r).(x+2r).(x-r).(x+r).x=945$

$(5-2r).(5+2r).(5-r).(5+r).5=945$

$(5-2r).(5+2r).(5-r).(5+r)=189$

$(25-4 r^{2} ).(25- r^{2} )=189$

$625-25 r^{2} -100 r^{2} +4 r^{4} =189$

$4 r^{4}-125 r^{2} +436=0$

É uma equação biquadrada. Façamos $r^{2}=y$:

$4 y^{2}-125 y +436=0$

Δ = $(-125)^{2} -4.4.436=15625-6976=8649$

$y= \frac{-(-125)+ \sqrt{8649} }{2.4} = \frac{125+ 93 }{8} =\frac{109 }{4}$ ⇒ $r^{2}= \frac{109}{4}$ ⇒ $r=$ + $\frac{ \sqrt{109} }{2}$ → não serve, pois os números são inteiros!

ou

$y= \frac{-(-125)- \sqrt{8649} }{2.4} = \frac{125- 93 }{8} =\frac{32 }{8}=4$ ⇒ $r^{2}= 4$ ⇒ $r=$ + $2$

1º caso: $r=2$
$5-4=1$
$5-2=3$
$5$
$5+2=7$
$5+4=9$
PA (1, 3, 5, 7, 9)

2º caso: $r=-2$
$5+4=9$
$5+2=7$
$5$
$5-2=3$
$5-4=1$
PA (9, 7, 5, 3, 1)

Logo, em qualquer situação, os números são: 1, 3, 5, 7 e 9.