Question

A soma de 3 termos de uma p.a. é 9 e o produto 15. Quais são estes termos?

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Bruno, que podemos expressar os três termos dessa PA em função de sua razão (r).

Agora vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.
 
i) Vamos chamar os três termos dessa PA da seguinte forma (colocando-os em função da sua razão "r"):

1º termo: x - r
2º termo: x
3º termo: x + r .

ii) Agora, como a soma desses três termos é igual a 9, então teremos isto:

x-r + x + x+r = 9 ----- reduzindo os termos semelhantes, teremos:
3x = 9
x = 9/3
x = 3 <--- Veja que já encontramos o valor de "x".

iii) Por sua vez, como sabemos que o produto desses três termos é igual a 15, então teremos isto:

(x-r)*(x)*(x+r) = 15 ----- mas como já vimos que x = 3, então teremos:
(3-r)*3*(3+r) = 15 ---- como na multiplicação a ordem dos fatores não altera o produto, então poderemos fazer assim:

3*(3-r)*(3+r) = 15 ----- note que (3+r)*(3-r) = (3²-r²) = (9-r²). Assim:
3*(9-r²) = 15 ---- isolando (9-r²), teremos:
(9-r²) = 15/3
9 - r² = 5 ----- passando "9" para o 2º membro, teremos:
- r² = 5 - 9
- r² = - 4 ----- multiplicando-se ambos os membros por "-1", teremos:
r² = 4
r = +-√(4) --------- como √(4) = 2, teremos;
r = +- 2  --- ou seja, a razão tanto poderá ser positiva como negativa, ou:

r' = - 2
r'' = 2

iv) Agora vamos aos termos dessa PA, utilizando-se x = 3 e a razão (r) igual a "-2" e também a razão igual a "2". Assim teremos:

iv.a) Para r = -2, teremos:

1º termo: x - r ---> 3 - (-2) = 3 + 2 = 5
2º termo: x -------> 3 --------------> = 3
3º termo: x + r ----> 3+(-2) = 3 - 2 = 1

Assim, para a razão igual a "-2", a PA será decrescente e será constituída pelos seguintes termos:

(5; 3; 1) .

iv.b) Para r = 2, teremos:

1º termo: x - r -----> 3 - 2 = 1 ------> = 1
2º termo: x ---------> 3 --------------> = 3
3º termo: x + r ----> 3 + 2 = 5 -----> = 5

Assim, para a razão igual a "2", a PA será crescente e será constituída pelos seguintes termos:

(1; 3; 5) .

Note que os três termos são os mesmos, mudando apenas a ordem na PA, que dependerá da razão utilizada. Se utilizarmos r = -2, então a PA será decrescente; e se utilizarmos r = 2, a PA será crescente. 

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.