Question

a soma de 3 números em PG é 39 e o produto entre eles é 729.Calcule os 3 números

Answer 1

Temos uma PG de 3 termos, logo podemos associar a PG da seguinte maneira:

$( \frac{a_{1}}{q}, a_{1}, a_{1}*q )$

Logo temos o seguinte sistema de equações:

$\left \{ {{(\frac{a_{1}}{q})+( a_{1})+ (a_{1}*q)=39} \atop {(\frac{a_{1}}{q})* (a_{1})* (a_{1}*q)=729}} \right.$

Na segunda equação temos o seguinte:

$(\frac{a_{1}}{q})* (a_{1})* (a_{1}*q)=729 \\ \\ (a_{1})^{3} = 729 \\ \\ a1 = \sqrt[3]{729} \\ \\ a1 = 9$

Na segunda equação temos:

$(\frac{a_{1}}{q})+( a_{1})+ (a_{1}*q)=39 \\ \\ (\frac{9}{q})+( 9)+ (9*q)=39 \\ \\ 9 + 9q + 9q^2 = 39q \\ \\ 9q^2 +9q - 39q + 9 = 0 \\ \\ 9q^2 - 30 + 9 = 0 \\ \\ 3q^2-10 + 3 = 0$

Resolvendo a equação de 2° Grau temos os seguintes valores para a razão:

Δ = (-10)² - (4*3*3)
Δ = 100 - 36
Δ = 64

$q' = ( \frac{10 - \sqrt{64}}{2*3} ) = \frac{10-8}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \\ \\ q'' = ( \frac{10 + \sqrt{64}}{2*3} ) = \frac{10+8}{6} = \frac{18}{6} = 3$

Para $q = \frac{1}{3}$ temos:

$PG = ( 27,9,3 )$

Para $q = 3$ temos:

$PG = (3,9,27)$