Question

a soma das soluções da equação x elevado a log2x = 4x é
a) 2
b) 4,5
c) 3,5
d) 4
e) 8

obs: Quero resolução, pois gabarito tenho

Answer 1

$x^{\mathrm{\ell og_2\,}x}=4x$


Vamos fazer uma mudança de variável. Chamemos

$\mathrm{\ell og_2\,}x=t\\\\ x=2^t$


Substituindo, a equação fica

$(2^t)^t=4\cdot 2^t\\\\ 2^{t\,\cdot\,t}=4\cdot 2^t\\\\ 2^{t^2}=4\cdot 2^t\\\\ 2^{t^2}=2^2\cdot 2^t\\\\ 2^{t^2}=2^{2+t}$


Temos acima uma igualdade entre exponenciais de mesma base. É só igualar os expoentes:

$t^2=2+t\\\\ t^2-t-2=0~~~\Rightarrow~~\left\{\! \begin{array}{l} a=1\\b=-1\\c=-2 \end{array} \right.\\\\\\ \Delta=b^2-4ac\\\\ \Delta=(-1)^2-4\cdot 1\cdot (-2)\\\\ \Delta=1+8\\\\ \Delta=9$


$t=\dfrac{-b\pm \sqrt{\Delta}}{2a}\\\\\\ t=\dfrac{-(-1)\pm \sqrt{9}}{2\cdot 1}\\\\\\ t=\dfrac{1\pm 3}{2}\\\\\\ \begin{array}{rcl} t=\dfrac{1-3}{2}&~\text{ ou }~&t=\dfrac{1+3}{2}\\\\ t=\dfrac{-2}{2}&~\text{ ou }~&t=\dfrac{4}{2}\\\\ t=-1&~\text{ ou }~&t=2 \end{array}$


Voltando à variável $x,$

$\begin{array}{rcl} \mathrm{\ell og_2\,}x=-1&~\text{ ou }~&\mathrm{\ell og_2\,}x=2\\\\ x=2^{-1}&~\text{ ou }~&x=2^2 \end{array}\\\\\\ ~~~~~~~~\boxed{\begin{array}{rcl} x=\dfrac{1}{2}&~\text{ ou }~&x=4 \end{array}}$


O conjunto solução é

$S=\left\{\dfrac{1}{2},\,4 \right\}$


e a soma das soluções é

$\dfrac{1}{2}+4\\\\\\ =\dfrac{1}{2}+\dfrac{8}{2}\\\\\\ =\dfrac{1+8}{2}\\\\\\ =\dfrac{9}{2}$

$=\boxed{\begin{array}{c}4,\!5 \end{array}}$    <———    esta é a resposta.


Resposta: alternativa b) 4,5.


Dúvidas? Comente.


Bons estudos! :-)