Question

A soma das soluções da equação trigonométrica cos2x + 3cosx = -2, no intervalo [0,2$\pi$] é:

Answer 1

Resposta: A soma das soluções é igual a 3π.

Explicação passo a passo:

Identidade trigonométrica utilizada

• Cosseno do arco duplo:

     $\cos(2x)=2\cos^2(x)-1\qquad\mathrm{(i)}$

Resolvendo a equação trigonométrica

     $\cos(2x)+3\cos(x)=-2,\quad\mathrm{com~}0\le x\le 2\pi\\\\ \overset{\mathrm{(i)}}{\Longrightarrow}\quad (2\cos^2(x)-1)+3\cos(x)=-2\\\\ \Longleftrightarrow\quad 2\cos^2(x)+3\cos(x)-1+2=0\\\\ \Longleftrightarrow\quad 2\cos^2(x)+3\cos(x)+1=0$

Façamos a seguinte mudança de variável:

     $\cos(x)=t,\quad\mathrm{com~}-1\le t\le 1.$

Substituindo, a equação fica

     $\Longrightarrow\quad 2t^2+3t+1=0$

Temia acima uma equação quadrática na variável t. Vamos resolvê-la utilizando fatoração por agrupamento.

Reescreva 3t como 2t + t:

     $\Longleftrightarrow\quad 2t^2+2t+t+1=0\\\\ \Longleftrightarrow\quad 2t(t+1)+1(t+1)=0$

Coloque o fator comum (t+1) em evidência:

     $\Longleftrightarrow\quad (t+1)(2t+1)=0$

No conjunto dos reais, o produto só é zero se algum dos fatores for igual a zero. Logo,

     $\Longleftrightarrow\quad t+1=0\quad\mathrm{ou}\quad 2t+1=0\\\\ \Longleftrightarrow\quad t=-1\quad\mathrm{ou}\quad t=-\,\dfrac{1}{2}$

Ambos os valores para t satisfazem a restrição $-1\le t\le 1.$ Substitua de volta $t=\cos(x):$

     $\Longrightarrow\quad \cos(x)=-1\quad\mathrm{ou}\quad\cos(x)=-\dfrac{1}{2}\\\\ \Longleftrightarrow\quad \cos(x)=\cos(\pi)\quad\mathrm{ou}\quad \cos(x)=\cos\!\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)$

Agora termos igualdades entre cossenos. Considerando arcos na mesma volta positiva, os cossenos são iguais apenas se os arcos forem iguais ou se suas imagens forem simétricas em relação ao eixo dos cossenos (eixo horizontal). Portanto, devemos ter

     $\overset{x\in[0,\,2\pi]}{\Longrightarrow}\quad x=\pi\quad\mathrm{ou}\quad x\in\left\{\dfrac{2\pi}{3},\,2\pi-\dfrac{2\pi}{3}\right\}\\\\ \Longleftrightarrow\quad x=\pi\quad\mathrm{ou}\quad x\in\left\{\dfrac{2\pi}{3},\,\dfrac{4\pi}{3}\right\}$

Logo, o conjunto solução no intervalo $[0,\,2\pi]$ é

     $S=\left\{\dfrac{2\pi}{3},\,\pi,\,\dfrac{4\pi}{3}\right\}$

e a soma das soluções é

     $=\dfrac{2\pi}{3}+\pi+\dfrac{4\pi}{3}\\\\ =\dfrac{2\pi+3\pi+4\pi}{3}\\\\ =\dfrac{9\pi}{3}\\\\ =3\pi$

sendo esta a resposta.

Bons estudos! :-)