Question

a soma das soluções da equação trigonométrica √3. cos x + sen x =√3, no intervalo [0,2π] é:
N entendi a resolução ja postada no site!

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\mathtt{Soma = 7\pi/3}}$

Explicação passo-a-passo:

Desenvolvendo a equação dada no enunciado, teremos:

$\\ \displaystyle \mathsf{\sqrt{3} \cdot \cos x + \sin x = \sqrt{3}} \\\\ \mathsf{\sin x = \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot \cos x} \\\\ \mathsf{\sin x = \sqrt{3} \cdot \left ( 1 - \cos x \right ) \qquad \qquad (i)}$

Por conseguinte, faremos uso da seguinte relação fundamental da trigonometria:

$\displaystyle \boxed{\mathtt{\sin^2 x + \cos^2 x = 1}}$

Substituindo a equação (i)...

$\\ \displaystyle \mathsf{\sin^2 x + \cos^2 x = 1} \\\\ \mathsf{\left [ \sqrt{3} \cdot \left ( 1 - \cos x \right ) \right ]^2 + \cos^2 x = 1} \\\\ \mathsf{3\left ( 1 - 2\cos x + \cos^2 x \right ) + \cos^2 x = 1} \\\\ \mathsf{3 - 6 \cos x + 3\cos^2 x + \cos^2 x = 1} \\\\ \mathsf{4 \cos^2 x - 6 \cos x + 2 = 0 \qquad \qquad \div(2} \\\\ \mathsf{2 \cos^2 x - 3 \cos x + 1 = 0}$

Resolvendo a equação do 2º grau acima, pelo método que melhor lhe agradar, tiramos que:

$\\ \displaystyle \mathsf{2 \cos^2 x - 3 \cos x + 1 = 0} \\\\ \mathsf{2 \cos^2 x - 2 \cos x - \cos x + 1 = 0} \\\\ \mathsf{2 \cos x \cdot \left ( \cos x - 1 \right ) - 1 \cdot \left ( \cos x - 1 \right ) = 0} \\\\ \mathsf{(\cos x - 1) \cdot (2 \cos x - 1) = 0} \\\\ \boxed{\mathsf{S_{\cos x} = \left \{ \frac{1}{2}, 1 \right \}}}$

Com efeito, isto implica que:

$\displaystyle \begin{cases} \mathsf{\cos x = \frac{1}{2} \Rightarrow \boxed{\mathsf{x = \frac{\pi}{3}}} \, \wedge \, \boxed{\mathsf{x = \frac{5\pi}{3}}}} \\\\ \mathsf{\cos x = 1 \Rightarrow \boxed{\mathsf{x = 0}} \, \wedge \, \boxed{\mathsf{x = 2\pi}}} \end{cases}$

Por fim, devemos verificar se todos os valores encontrados satisfazem a equação. Segue,

$\\ \displaystyle \mathtt{\bullet \qquad Quando \, \boxed{\mathtt{x = 0}} \Rightarrow \sin 0 = \sqrt{3}(1 - \cos 0)} \\\\ \mathtt{\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \ \sin 0 = \sqrt{3} \cdot 0 \qquad \qquad (Ok)} \\\\\\ \mathtt{\bullet \qquad Quando \, \boxed{\mathtt{x = \frac{\pi}{3}}} \Rightarrow \sin \frac{\pi}{3} = \sqrt{3}\left ( 1 - \cos \frac{\pi}{3} \right )} \\\\ \mathtt{\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \ \sin \frac{\pi}{3} = \sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} \qquad \qquad (Ok)}$

$\\ \displaystyle \mathtt{\bullet \qquad Quando \, \boxed{\mathtt{x = \frac{5\pi}{3}}} \Rightarrow \sin \frac{5\pi}{3} = \sqrt{3}\left ( 1 - \cos \frac{5\pi}{3} \right )} \\\\ \mathtt{\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \ \ \quad \sin \frac{5\pi}{3} = \sqrt{3} \cdot \frac{1}{2}} \\\\ \mathtt{\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad - \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} \qquad \qquad (False)} \\\\\\ \mathtt{\bullet \qquad Quando \, \boxed{\mathtt{x = 2\pi}} \Rightarrow \sin 2\pi = \sqrt{3}(1 - \cos 2\pi)} \\\\ \mathtt{\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \ \sin 2\pi = \sqrt{3} \cdot 0 \qquad \qquad (Ok)}$

Assim, as soluções são: $\boxed{\mathtt{S_x = \left \{ 0, \pi/3, 2\pi \right \}}}$

Daí,

$\\ \displaystyle \mathsf{0 + \frac{\pi}{3} + 2\pi =} \\\\ \boxed{\boxed{\mathsf{\frac{7\pi}{3}}}}$