Question

A soma das soluções da equação trigonométrica 2cosx^2 + 3cosx + 1 = 0, no intervalo [ 0, 2Pi] ?

Answer 1

Olá Lucas.


Organizando e resolvendo a equação:

$\mathsf{2\cdot \underbrace{\mathsf{cos^2x}}+3\cdot cos~x+1=0}\\\mathsf{~~~~~~y}}\\\\\\\mathsf{2y^2+3y+1=0}\\\\\\\mathsf{\Delta=3^2-4\cdot2\cdot1}\\\mathsf{\Delta=9-8}\\\mathsf{\Delta=1}\\\\\\\mathsf{x=\dfrac{-3\pm\sqrt{1}}{2\cdot2}}\\\\\\\\\mathsf{x^+=\dfrac{-3+1}{4}\Rightarrow x^+=\dfrac{-2}{4}\Rightarrow \boxed{\mathsf{x^+=-\dfrac{1}{2}}}}\\\\\\\\\mathsf{x^-=\dfrac{-3-1}{4}\Rightarrow x^-=\dfrac{-4}{4}\Rightarrow \boxed{\mathsf{x^-=-1}}}$

Temos aqui 2 ângulos notáveis (-0,5 e -1). Como estão negativo, significa que eles estão no segundo ou terceiro quadrante.

Sabendo que o cos de 0,5 no primeiro quadrante equivale a um ângulo de 60º, no segundo quadrante equivale a:

180º - 60º = 120º

Já o cos de -1:

180º - 0º = 180º

Encontrando agora os ângulos no terceiro quadrante:

180º + 60º = 240º

Portanto, temos 3 soluções para esse intervalo:

$\mathsf{\dfrac{\pi}{x}=\dfrac{180\º}{120\º}\Rightarrow 3x=2\pi\Rightarrow \boxed{\mathsf{x=\dfrac{2\pi}{3}}}}\\\\\\\\\boxed{\mathsf{x=\pi=180\º}}\\\\\\\mathsf{\dfrac{\pi}{x}=\dfrac{180\º}{240\º}\Rightarrow 3x=4\pi\Rightarrow \boxed{\mathsf{x=\dfrac{4\pi}{3}}}}\\\\\\\\\mathsf{x\begin{cases}\dfrac{2\pi}{3}\\\\\mathsf{\pi}\\\\\mathsf{\dfrac{4\pi}{3}}\end{cases}}$


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