Question

A soma das soluções da equação:
√2x+1 - 4 . (raiz cúbica)2x+1 + 3 . (raiz sexta) 2x+1 = 0 dá um número:

A) nulo;

B) par entre 42 e 310;

C) ímpar maior que 160

D) irracional;

E) racional

Estou parado faz umas 8 horas, por favor.

Answer 1

A soma das soluções da equação $\sqrt{2x+1}-4\sqrt[3]{2x+1}+3\sqrt[6]{2x+1}=0$ é um número racional.

Temos que a equação é $\sqrt{2x+1}-4\sqrt[3]{2x+1}+3\sqrt[6]{2x+1}=0$.

Para resolver essa equação, vamos fazer a seguinte substituição: $y=\sqrt[6]{2x+1}$.

Sendo assim, obtemos uma nova equação, que é:

y³ - 4y² + 3y = 0.

Colocando o y em evidência: y(y² - 4y + 3) =  0. Logo, y = 0.

Utilizando a fórmula de Bhaskara para resolver a equação do segundo grau y² - 4y + 3 = 0:

Δ = (-4)² - 4.1.3

Δ = 16 - 12

Δ = 4

$y=\frac{4+-\sqrt{4}}{2}$

$y=\frac{4+-2}{2}$

$y'=\frac{4+2}{2}=3$

$y''=\frac{4-2}{2}=1$.

Assim, se y = 0, então:

$\sqrt[6]{2x+1} =0$

2x + 1 = 0

2x = -1

x = -1/2.

Se y = 3, então:

$\sqrt[6]{2x+1}=3$

2x + 1 = 3⁶

2x + 1 = 729

2x = 728

x = 364.

Se y = 1, então:

$\sqrt[6]{2x+1}=1$

2x + 1 = 1⁶

2x + 1 = 1

2x = 0

x = 0.

A soma das soluções é igual a 0 + 364 - 1/2 = 727/2. Perceba que esse número é racional.