Question

A soma das soluções da equação 2cos²x - 2sen²x = 1 no intervalo [0,360°] é:

a)180°
b)360°
c)720°
d)270°
e)1080°

Answer 1

Temos a seguinte equação trigonométrica:

$2 \cos {}^{2} x - 2 \sin {}^{2} x = 1$

Pela relação fundamental da trigonometria, sabemos que o seno ao quadrado pode ser reescrito da seguinte maneira:

$\sin {}^{2} x + \cos {}^{2} x = 1 \longrightarrow \sin {}^{2} x = 1 - \cos {}^{2} x$

Substituindo essa expressão no local do mesmo:

$2 \cos {}^{2} x - 2(1 - \cos {}^{2} x) = 1 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ 2 \cos {}^{2} x - 2 + 2 \cos {}^{2} x = 1 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \ \: \\ 4 \cos {}^{2} x = 3 \longrightarrow \cos {}^{2} x = \frac{3}{4} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \cos x = \pm \sqrt{ \frac{3}{4} } \longrightarrow \cos x = \pm \frac{ \sqrt{3} }{2}$

Portanto temos que a solução é essa acima. Agora devemos analisar qual o ângulo possui o cosseno igual a ± √3/2, para encontrar o positivo basta olhar na tabela de arcos notáveis e observar que cos30° = √3/2. Já o valor negativo se encontra no quadrante onde o cosseno é negativo, então temos dois caso, que são o segundo e o terceiro quadrante, para encontrar os ângulos referentes a cada um deles, usarei as simetrias para calcular o valor.

$\sf quadrante \: \: 2 \\ (\pi - \alpha )\longrightarrow \pi - \frac{\pi}{6} \longrightarrow \frac{5\pi}{6} \: \: ou \: 150 {}^{ \circ} \\ \\ \sf quadrante \: \: 3 \\ (\pi + \alpha )\longrightarrow \pi + \frac{\pi}{6} \longrightarrow \frac{7\pi}{6} \: \: ou \: \: 210 {}^{ \circ}$

Ainda faltou um ângulo, que é o correspondente ao quarto quadrante, onde o cosseno é postivo.

Aplicando a simetria do quarto quadrante:

$\sf quadrante \: \: 4 \\( 2\pi - \alpha )\longrightarrow2\pi - \frac{\pi}{6} \longrightarrow \frac{11\pi}{6} \: \: ou \: \: 330 {}^{ \circ}$

Portanto temos que as soluções são:

$S = \left\{ \frac{\pi}{6} , \frac{5\pi}{6}, \frac{7\pi}{6} , \frac{11\pi}{6} \right\}$

Somando todas essas soluções em graus (°):

$\boxed{ \boxed{ \boxed {30 {}^{ \circ} + 150 {}^{ \circ} + 210 {}^{ \circ} + 330 {}^{ \circ} = 720 {}^{ \circ} }}}$

Espero ter ajudado