Question

A soma das raízes que a equação modular ||x-2|-7|=6 é a) 15 b) 30 c) 4 d) 2 e) 8

Answer 1

Olá!

$\mathsf{Sabemos \ de \ m\acute{o}dulo \ que: \ |x| = \begin{cases} \mathsf{x \qquad se \ x \geq 0} \\ \mathsf{- x \quad se \ x < 0}\end{cases}}$

$\mathsf{Isto \ posto, \ fazemos \ |x - 2| = k; \ por \ conseguinte, \ tiramos \ que \ x - 2 = \pm k}$

$\mathsf{Se \ \underline{x - 2 =+k}, \ ent\~ao:} \\\\ \mathsf{||x - 2| - 7| = 6} \\ \mathsf{|+ k - 7| = 6} \\ \mathsf{k - 7 = \pm 6} \\ \boxed{\mathsf{k=13}} \ \text{ou} \ \boxed{\mathsf{k =1}}$

$\mathsf{Se \ \underline{x - 2 = - k}, \ ent\~ao:} \\\\ \mathsf{||x - 2| - 7| = 6} \\ \mathsf{|- k - 7| = 6} \\ \mathsf{- k - 7 = \pm 6} \\ \boxed{\mathsf{k = - 13}} \ \text{ou} \ \boxed{\mathsf{k = - 1}}$

 Para encontrar "x",

$\\ \mathsf{|x - 2| = k} \\\\ \mathsf{x - 2 = \pm k} \Rightarrow \begin{cases} \mathsf{x - 2 = \pm 13} \\ \mathsf{x - 2 = \pm 1} \end{cases} \\\\ \mathsf{Com \ efeito,} \\\\ \mathsf{x_1 - 2 = - 13 \Rightarrow x_1 = 2 - 13 \Rightarrow \boxed{\mathsf{x_1 = - 11}}} \\ \mathsf{x_2 - 2 = + 13 \Rightarrow x_2 = 2 + 13 \Rightarrow \boxed{\mathsf{x_2 = 15}}} \\ \mathsf{x_3 - 2 = - 1 \Rightarrow x_3 = 2 - 1 \Rightarrow \boxed{\mathsf{x_3 = 1}}} \\ \mathsf{x_4 - 2 = + 1 \Rightarrow x_4 = 2 + 1 \Rightarrow \boxed{\mathsf{x_4 = 3}}}$

 Por fim, somamos...

$\\ \mathsf{x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = - 11 + 15 + 1 + 3} \\\\ \boxed{\boxed{\mathsf{x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 8}}}$

 Espero ter ajudado!