Question

A soma das raízes da equação (x²-x).(x²-4x+1)=0 é ?
a)4+√5 b)2+√3 c)1+√3
d)1+√5 e)5

Answer 1

$(x^2-x)\cdot(x^2-4x+1)=0~\longrightarrow~x^2-x=0~\text{ou}~x^2-4x+1=0$

A soma das raízes de uma equação do segundo grau $ax^2+bx+c=0$ é dada por $\dfrac{-b}{a}$

Desse modo, a soma das raízes da equação $x^2-x=0$ é $\dfrac{-(-1)}{1}=\dfrac{1}{1}=1$ e a soma das raízes da equação $x^2-4x+1=0$ é $\dfrac{-(-4)}{1}=\dfrac{4}{1}=4$

Logo, a resposta é $1+4=5$

$\text{Alternativa E}$

Outra maneira de resolver é achar as raízes e depois somá-las:

$x^2-x=0~\longrightarrow~x\cdot(x-1)=0$

$\boxed{x'=0}~\text{ou}~x-1=0~\longrightarrow~\boxed{x"=1}$

$x^2-4x+1=0$

$\Delta=(-4)^2-4\cdot1\cdot1$
$\Delta=16-4$
$\Delta=12$

$x=\dfrac{-(-4)\pm\sqrt{12}}{2\cdot1}=\dfrac{4\pm2\sqrt{3}}{2}$

$x'''=\dfrac{4+2\sqrt{3}}{2}~\longrightarrow~\boxed{x'''=2+\sqrt{3}}$

$x""=\dfrac{4-2\sqrt{3}}{2}~\longrightarrow~\boxed{x""=2-\sqrt{3}}$

Assim, a soma de todas as raízes é:

$x'+x"+x'''+x""=0+1+2+\sqrt{3}+2-\sqrt{3}=1+2+2=5$, como obtemos anteriormente.