Question

A soma das raízes da equação  $10^{x} = \frac{ \sqrt[x]{ 1000^{5} } }{100}$  é:    a)  -2    b)  -1    c)  0    d)  1    e)   2

Answer 1

i) Vamos, primeiramente, reduzir a fração do segundo membro a uma potência de base 10, lembrando que $\sqrt[a]{x}=x^{1/a}$;

$\frac{\sqrt[x]{1000}}{100}=(10^3)^{1/x}.10^{-2}\Rightarrow \boxed{\frac{\sqrt[x]{1000}}{100}=10^{-2+3/x}}$

ii) Agora que temos duas potências de mesma base nos dois membros da igualdade podemos igualar os expoentes:

$10^x=10^{-2+3/x}\Leftrightarrow x=-2+\frac{3}{x} {*x \atop \Longrightarrow} x^2=-2x+3\Rightarrow x^2+2x-3=0$

Aqui temos dois caminhos a seguir: ou usar as relações de Girard ou resolver a equação e somar os valores das raízes. De qualquer forma, encontraremos que a soma vale -2.

R: a) -2