Question

A soma das raízes da equação sen 2x = cos x no intervalo 0 ≤ x ≤ 2π é igual a

Answer 1

Resolvendo a equação trigonométrica

     sen 2x = cos x

no intervalo  [0, 2π].


Use a identidade do seno do arco duplo no lado esquerdo:

     •   sen 2x = 2 sen x cos x


e a equação fica

     $2\,\mathrm{sen\,}x\cos x=\cos x\\\\ 2\,\mathrm{sen\,}x\cos x-\cos x=0$


Fatore o lado esquerdo, colocando  cos x  em evidência:

     $\cos x\cdot (2\,\mathrm{sen\,}x-1)=0\\\\ \begin{array}{rcl} \cos x=0&\textsf{ ou }&2\,\mathrm{sen\,}x-1=0\\\\ \cos x=0&\textsf{ ou }&2\,\mathrm{sen\,}x=1\\\\ \cos x=0&\textsf{ ou }&\mathrm{sen\,}x=\dfrac{1}{2}\\\\ \end{array}$


As duas equações acima são elementares:

     •   $\cos x=0$

     $x=\dfrac{\pi}{2}\quad\textsf{ ou }\quad x=\dfrac{3\pi}{2}$


     •   $\mathrm{sen\,}x=\dfrac{1}{2}$

     $\begin{array}{rcl} x=\dfrac{\pi}{6}&\textsf{ ou }&x=\pi-\dfrac{\pi}{6}\\\\ x=\dfrac{\pi}{6}&\textsf{ ou }&x=\dfrac{5\pi}{6} \end{array}$


O conjunto solução no intervalo  [0, 2π]  é

     $S=\left\{ \dfrac{\pi}{6},\,\dfrac{\pi}{2},\,\dfrac{5\pi}{6},\,\dfrac{3\pi}{2} \right\}$


e a soma pedida é

     $\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{5\pi}{6}+\dfrac{3\pi}{2}\\\\\\ =\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{3\pi}{6}+\dfrac{5\pi}{6}+\dfrac{9\pi}{6}\\\\\\ =\dfrac{\pi+3\pi+5\pi+9\pi}{6}\\\\\\ =\dfrac{18\pi}{6}$

     $=3\pi\quad\longleftarrow\quad\textsf{esta \'e a resposta.}$


Bons estudos! :-)