Question

A soma das raízes da equação irracional x-1=√3x+15 é igual a
A2
B3
C5
D6
E7
Como fazer a conta para achar o resultado?

Answer 1

Olá.

Temos a equação:
$\mathsf{x-1=\sqrt{3x+15}}$

Como um lado está em raiz, podemos levá-lo para o outro lado em formato de potência. Logo após, aplicaremos a regra do quadrado da diferença.
$\mathsf{x-1=\sqrt{3x+15}}\\\\ \mathsf{(x-1)^2=3x+15}\\\\ \mathsf{(x^2+(2\cdot(-1)\cdot x+1^2)=3x+15}\\\\ \mathsf{x^2-2x+1=3x+15}\\\\ \mathsf{x^2-2x+1-3x-15=0}\\\\ \boxed{\mathsf{x^2-5x-14=0}}$

Tendo encontrado a equação de segundo grau, vamos agora usar Bháskara.
$\left\{\begin{array}{x}\mathsf{a=1}\\\mathsf{b=-5}\\\mathsf{c=-14}\end{array}\right\\\\\\\\\\ \mathsf{x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4\cdot a\cdot c}}{2\cdot a}}\\\\\\ \mathsf{x=\dfrac{-(-5)\pm\sqrt{(-5)^2-4\cdot1\cdot(-14)}}{2\cdot1}}\\\\\\ \mathsf{x=\dfrac{5\pm\sqrt{25+56}}{2}}\\\\\\ \mathsf{x=\dfrac{5\pm\sqrt{81}}{2}}\\\\\\ \mathsf{x=\dfrac{5\pm9}{2}}$

Vamos agora encontrar as raízes:
$\mathsf{x'=\dfrac{5+9}{2}}\\\\ \mathsf{x'=\dfrac{14}{2}}\\\\\boxed{\mathsf{x'=7}}\\\\\\ \mathsf{x''=\dfrac{5-9}{2}}\\\\\\ \mathsf{x''=\dfrac{-4}{2}}\\\\\\ \boxed{\mathsf{x''=-2}}$

Agora vamos testar as raízes adquiridas:
$\left\{\begin{array}{cc}\mathsf{x'=}&\mathsf{7}\\\mathsf{x''=}&\mathsf{-2} \end{array}\right\\\\\\\\ \mathsf{Eq:~x-1=\sqrt{3x+15}}\\\\ \mathsf{Eq^1:~7-1=\sqrt{3\cdot7+15}}\\ \mathsf{Eq^1:~6=\sqrt{21+15}}\\ \mathsf{Eq^1:~6=\sqrt{36}}\\ \boxed{\mathsf{Eq^1:~6=6~-\ \textgreater \ ~Certo}}\\\\ \mathsf{Eq:~-2-1=\sqrt{3\cdot(-2)+15}}\\ \mathsf{Eq:~-3=\sqrt{-6+15}}\\ \mathsf{Eq:~-3=\sqrt{9}}\\ \boxed{\mathsf{Eq:~-3=3~-\ \textgreater \ ~Inv\'alido}}$

Sendo que apenas um valor está certo e é válido, o resultado será apenas 7.
Alternativa E.

Qualquer dúvida, deixe nos comentários.
Bons estudos.