Question

A soma das raízes da equação ax²+bx+c=0, com a,b,c ≠ 0, indica o salário recebido por horas pelo serviço de um eletricista. O produto das raízes dessa equação,por sua vez, indica a quantidade de horas trabalhadas em uma determinada semana. Assinale a alternativa que indica o salário recebido pelo eletricista nessa semana.

Alternativas estão em anexo.

Answer 1

Resposta:

Alternativa b).

Explicação passo-a-passo:

Temos uma equação de segundo grau da forma $a.x^2+b.x+c=0$

Vamos resolver essa equação completando quadrados, da seguinte forma (isso não é necessário, mas é legal de saber):

$a.x^2+b.x+c=0\\a.\left(x^2+\dfrac{b}{a}.x+\dfrac{c}{a}\right)=0$

Como $a \ne 0$, temos que:

$\left(x^2 + \dfrac{b}{a}.x+\dfrac{c}{a}\right)=0$

Vamos agora completar quadrado:

$\left[x^2 + \dfrac{b}{a}.x +\left(\dfrac{b}{2.a}\right)^2-\left(\dfrac{b}{2.a}\right)^2 +\dfrac{c}{a}\right]=0\\\left[x^2 + \dfrac{b}{a}.x +\left(\dfrac{b}{2.a}\right)^2\right] = \left(\dfrac{b}{2.a}\right)^2 -\dfrac{c}{a}\right]$

$\left(x+\dfrac{b}{2.a}\right)^2= \dfrac{b^2 -4.a.c}{4.a^2}$

$\left(x+\dfrac{b}{2.a}\right)=\pm \sqrt{\dfrac{b^2-4.a.c}{4.a^2}}\\x +\dfrac{b}{2.a} = \pm \dfrac{\sqrt{b^2-4.a.c}}{2.a}\\x=\dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4.a.c}}{2.a}$

Bom, daí vêm as duas raízes. Agora vamos ao cálculo:

Soma das raízes: $\dfrac{-b + \sqrt{b^2-4.a.c}}{2.a} + \dfrac{-b - \sqrt{b^2-4.a.c}}{2.a}= \dfrac{-2.b}{2.a}=\dfrac{-b}{a}$

Produto das raízes: $\left(\dfrac{-b + \sqrt{b^2-4.a.c}}{2.a}\right).\left( \dfrac{-b - \sqrt{b^2-4.a.c}}{2.a}\right)= \dfrac{(-b)^2+b^2 -4.a.c}{4.a^2}=\dfrac{-4.a.c}{4.a^2}=\dfrac{-c}{a}.$

Multiplicando o valor recebido por horas trabalhadas, pela quantidade de horas trabalhadas, temos: $\dfrac{b.c}{a^2}$

Portanto, alternativa b).

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