Question

A soma das raízes da equação

4^x + 2^5 = 3 . 2^x+2 é

igual a:

a) 5

b) 3

c) 8

d) 12

e) 7

Com resolução por favor!!!

Answer 1

4^x + 2^5 = 3.2^(x + 2)

Podemos dizer que 4 = 2^2, sendo assim, 4^x = (2^2)^x e quando nos deparamos com uma situação dessa nos multiplicamos os expoentes, então,
4^x = (2^2)^x = 2^2x

2^2x + 32 = 3 . 2^(x + 2)

Sabemos também que para desmembrar uma situação como 2^(x + 2) nós devemos pegar a parte numérica e colocá-la como uma multiplicação, já que é positiva.

2^(x + 2) = 2^x . 2^2

2^2x + 32 = 3 . 4 . 2^x
2^2x + 32 = 12 . 2^x

Vamos passar tudo para o mesmo lado

2^2x - 12.2^x + 32 = 0

Agora vamos chamar 2^x de y

y² - 12y + 32 = 0

Mas por que 2^2x = y²? Bom, é simples, 2^2x é a mesma coisa que 2^x . 2^x
Se vamos chamar 2^x de y então isso vira y . y = y²

Tendo essa equação de 2° grau, vamos resolver.

Δ = b² - 4.a.c 
Δ = -12² - 4 . 1 . 32 
Δ = 144 - 4. 1 . 32 
Δ = 16

Há 2 raízes reais.

y = (-b +- √Δ)/2a

y' = (--12 + √16)/2.1   
y'' = (--12 - √16)/2.1

y' = 16 / 2   
y'' = 8 / 2

y' = 8   
y'' = 4

Bom, nós chamamos 2^x de y, ou seja, descobrimos o valor geral de 2^x mas não o valor do x, para descobrir isso, vamos igualar os dois.

y = 2^x
8 = 2^x
2^3 = 2^x
x = 3

Assim como

y = 2^x
4 = 2^x
2^2 = 2^x
x = 2

Como ele quer saber a soma das raízes da equação basta somar os dois valores possíveis de x

2 + 3 = 5

Alternativa A