Question

A soma das raízes da equação 2^2x+1 -2^x+4 = 2^x+4 -32 é:

a) 2
b)3
c)4
d)6
e)7

Answer 1

Olá, boa tarde ^_^.

$2 {}^{2x + 1} - 2 {}^{x + 4} = 2 {}^{x + 2} - 32 \\ \\ 2 {}^{x} .2 {}^{x} .2 {}^{1} - 2 {}^{x} .2 {}^{4} = 2 {}^{x} .2 {}^{2} - 2 {}^{5} \\ \\ 2 {}^{x} = y \\ \\ y.y.2 - y.2 {}^{4} = y.2 {}^{2} - 32 \\ \\ 2y {}^{2} - 16y = 4y - 32 \\ \\ 2y { }^{2} - 16y - 4y + 32 = 0 \\ \\ 2 {y}^{2} - 20y + 32 = 0$

Chegamos a equação:

2y² - 20y + 32 = 0

I) Coeficientes:

a = 2

b = -20

c = 32

II) Discriminante:

∆ = b² - 4.a.c

∆ = (-20)² - 4.2.32

∆ = 400 - 256

∆ = 144

III) Bháskara:

Y = -b ± √∆ / 2.a

Y = -(-20) ± √144 / 2.2

Y = 20 ± 12 / 4

Y' = 20 + 12 / 4

X' = 32 / 4

X' = 8

Y" = 20 - 12 / 4

Y" = 8 / 4

Y" = 2

A questão quer saber a soma das raízes, então vamos substituir na expressão que criamos no começo.

Y = 2ˣ

8 = 2ˣ

2³ = 2ˣ

x' = 3

Y = 2ˣ

2¹ = 2ˣ

x" = 1

A questão que saber a soma dessas raízes.

3 + 1 = 4 → Letra c)

Informo que você escreveu a expressão diferente da foto que você tinha anexado :v.

Qualquer erro me contate.

Espero ter ajudado

Bons estudos ♥️

Answer 2

A questão trata de equações exponenciais.

• O que são equações exponenciais?

Uma equação é caracterizada exponencial quando possui incógnita no expoente de uma base positiva e diferente de 1. Matematicamente, devemos ter uma igualdade e incógnitas como expoentes. É um exemplo de equação exponencial:

$\Large\displaystyle{\boxed{\mathsf{a^x = b}}}}~, \mathsf{com~a, b \in \mathbb{R}; a> 0~e~a \neq 1}$

• Como resolver uma equação exponencial?

Para solucionar uma equação exponencial, devemos procurar colocar os dois lados da igualdade na mesma base, pois assim podemos igualar os expoentes e achar a solução. Para isso, convém aplicar as propriedades da exponenciação e da fatoração a fim de tornar a base única em ambos os membros da igualdade.

Caso não seja possível (como ocorre na questão), há de se avaliar a melhor estratégia. Nesse caso, temos de recorrer a uma substituição para chegar a uma equação mais simples (do segundo grau) e depois retornar à equação exponencial simplificada.

• Resolução da questão:

Seja a equação exponencial:

$\Large\boxed{\displaystyle{\Large{\mathsf{2^{2x+1} - 2^{x+4} = 2^{x+2} - 32}}}}$

Aplicando a volta da propriedade do produto de potências de mesma base nas potências de 2 com incógnita:

$\mathsf{2^{2x}.2^1 - 2^{x}.2^4 = 2^{x}.2^2 - 32}}$

Após isso, utilizando a propriedade da potência de uma potência 2²ˣ é equivalente a (2ˣ)².

$\mathsf{(2^{x})^2.2^1 - (2^{x}).2^4 = (2^{x}).2^2 - 32}}$

Chamando 2ˣ de uma incógnita qualquer, como b, tem-se:

$\mathsf{(b)^2.2^1 - (b).2^4 = (b).2^2 - 32}}\\\\\mathsf{2b^2 - 16b = 4b - 32}\\\\\mathsf{2b^2-16b-4b+32=0}\\\\\mathsf{2b^2-20b+32=0}\\\\\boxed{\mathsf{b^2-10b+16=0}}$

Resolvendo a equação do segundo grau, chegamos aos valores de b:

$\begin{cases}\mathsf{b' = 2}\\\mathsf{b''=8}\end{cases}$

Como dizemos ao início da resolução que b = 2ˣ, então:

$\mathsf{2^x = 2 \Rightarrow 2^x = 2^1~\therefore~\boxed{\mathsf{x' = 1}}}\\\\\mathsf{2^x = 8\Rightarrow2^x = 2^3~\therefore~\boxed{\mathsf{x'' = 3}}}$

Portanto, a soma das raízes x' e x'' vale:

$\mathsf{x' + x'' = 1 + 3 =}~\Large{\boxed{\boxed{\mathsf{4}}}}$

• Qual é o item correto?

A soma das raízes da equação vale 4, portanto o item correto é o C).

• Leia mais sobre equação exponencial:

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