Question

A soma das pontuações de um torneio de matemática está representado por uma progressão geométrica
S= 4+8+16....+2048. Assine o valor da soma:
A) 4092
B) 4100
C) 8192
D) 65536
E) 196883

Answer 1

Oi Ana, para resolver esse problema de adicionar uma projeção geométrica, vamos primeiro ver o que é uma projeção geométrica (PG):

Uma progressão geométrica é uma sequência de números reais chamados termos, em que cada termo é obtido pela multiplicação do termo anterior por uma constante chamada razão ou fator da progressão.

A fórmula da soma de uma progressão geométrica é:

$\sf \large S_n =a_1 \cdot \dfrac{r^n-1}{r-1}$

Sendo:

a1: O primeiro termo da progressão.

r: A razão para a progressão.

n: O último termo da progressão.

Sn: A soma de todos os termos.

Problema:

A soma das pontuações de um torneio de matemática está representado por uma progressão geométrica S= 4+8+16....+2048. Assine o valor da soma:

Olha o problema ele não nos diz o valor do último termo "n" só sabemos que o último termo é igual a 2048 e o primeiro termo é igual a 4 e a razão é igual a 2 porque 2*4 = 8 .

A fórmula para o número do último termo seria:

$\sf \large a_n=a_1\cdot r^{n-1}$

• Substituindo na fórmula o valor do último termo:

$\sf \large 2048=4\cdot 2^{n-1}$

$\sf \large \dfrac{2048}{4}=2^{n-1}$

$\sf\large 512=2^{n-1}$

Temos uma equação exponencial para resolver essa equação vamos decompor o número 512 para saber quantas vezes cabe em dois:

$\sf\large \begin{array}{c|c} \sf 512&\sf 2\\ \sf 256&\sf 2\\ \sf 128&\sf 2\\ \sf 64&\sf 2\\ \sf 32&\sf 2\\ \sf 16&\sf 2\\ \sf 8&\sf 2\\ \sf 4&\sf 2\\ \sf 2&\sf 2\\ \sf1\end{array}\\\\ \sf \large 512=2^9$

Agora fatorado, podemos substituir esse valor na equação exponencial e obter uma equação mais simples:

$\sf \large 2^9=2^{n-1}$

$\sf \large 9={n-1}$

$\sf \large 9+1={n}$

$\sf \large 10={n}$

Encontramos o valor do último termo "n", então a soma dos 10 primeiros termos da progressão é igual a:

$\sf \large S_{10 }=4\cdot \dfrac{2^{10}-1}{2-1}$

$\sf \large S_{10 }=4\cdot \dfrac{1,024-1}{1}$

$\sf \large S_{10} =4\cdot 1,023$

$\boxed{\boxed{\sf \large S_{10} =4,092}}$

A soma dos 10 primeiros termos ou a soma de todos os termos da progressão geométrica é igual a 4.092 opção A).

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Dúvidas? Comente :-)

$\textit{\textbf{Nitoryu}}$

Answer 2

Resposta:

$\textsf{Leia abaixo}$

Explicação passo a passo:

$\sf S = 4 + 8 + 16 + ... + 2048$

$\sf a_1 = 4$

$\sf a_2 = 8$

$\sf q = \dfrac{a_2}{a_1} = \dfrac{8}{4} = 2$

$\boxed{\sf a_n = a_1\:.\:q^{n - 1}}$

$\sf 2048 = 4\:.\:2^{n - 1}$

$\sf 2^{n - 1} = 512$

$\sf 2^{n - 1} = 2^9$

$\sf n - 1 = 9$

$\sf n = 10$

$\boxed{\sf S = \dfrac{a_1\:.\:(q^n - 1)}{q - 1}}$

$\sf S = \dfrac{4\:.\:(2^{10} - 1)}{2 - 1}$

$\sf S = 4\:.\:1023$

$\boxed{\boxed{\sf S = 4092}}$